三角函数变换规律篇1

三角变换是高中数学的重要内容，是历年高考的必考内容，但也是学生们比较头疼的地方，总结起来原因有二。第一，三角公式繁多，记忆时容易出错；第二，即使公式都记住了，用公式解题时不知道该用哪一个公式。本文就针对学生学习时容易出现的问题，探讨怎样巧记活用三角公式进行三角变换。

一、把握公式规律，巧记公式

对三角公式的准确、熟练记忆是进行三角变换的前提，但是三角公式繁多：同角三角函数的基本关系式（8个）、诱导公式（36个）、两角和与差的三角函数公式（6个）、二倍角公式（5个），再加上各组公式的变形，总共有60多个公式。如何才能保证记忆时不出现错误呢？这就要求学生在记忆时不要死记硬背，而是要把握其中的规律，巧记公式。下面，介绍各组公式的记忆方法。

1. 同角三角函数的基本关系式

这组公式常称“三类八式”，即这八个公式分为三大类：平方关系、商数关系和倒数关系。八个公式可画一个六边形来记忆。

记法：①在最长对角线上的两个三角函数的乘积为1。如：tanα・cotα=1；②在3个倒三角形中，上面两个顶点的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方（中心点为1）。如：tan2α+1=sec2α；③任意一顶点上的三角函数值等于与之相邻的两个顶点的三角函数值的乘积。如：sinα=tanα・cosα.

2. 诱导公式

诱导公式看似很多，其实可以概括为一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式左边的角可统一写成k・±α(k∈Z)的形式，当为奇数时，等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变，当k为偶数时，等号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边的三角函数之前的符号，则把α当做锐角，k・±α为第几象限，以及左边的三角函数之前的符号即为公式右边的符号。

3. 两角和与差的三角函数公式

这6个公式可分为三组，故可分为三组来记忆。每一组的特征都很明显：两角和（差）的余弦：余余、正正、符号异；两角和（差）的正弦：正余、余正、符号同；两角和（差）的正切：分子同，分母异。

4. 二倍角公式

其实，二倍角公式是两角和的三角函数公式当两角相等时的特殊情况。把握住这点，记住两角和的三角函数公式，二倍角公式自然就记住了。有规律有方法地巧记公式，有事半功倍的效果。

二、总结题型规律，活用公式

记 住了三角公式，如果不了解三角变换的提醒规律，也很难去用公式解题。三角变换题目虽然很多，但是也是有规律可循的，大致可以分为以下几类。

1. 角的变换

进行角的变换常用的公式有诱导公式、两角和（差）公式和二倍角公式。因此，题目当中需要化角时就要想到用这些公式，而不是往别的公式上去套。例1：已知α、β为锐角，且sinα=，cos(α+β)=-，求sinβ的值。解析：此题就需要用到角的变换β=(α+β)-α，然后两边取正弦，右边用两角差的正弦公式展开即可。

2. 函数名称的变换

一般是切割化弦或弦化切割，常用公式为同角三角关系式中的倒数关系式和商数关系式。例2：已知tanα=3，求的值。解析：已知正切的值，求关于正余弦的值，很显然只能采用公式tanα=。

3. 常数变换

在三角变换中，有时需要将常数化为三角函数值，比较常见的是“1的变换”，常见的变形有1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=cot2α-

sos2α。例3: 若2k?仔-≤α≤2k?仔+(k∈Z)，则+的化简结果为( )。解析：巧用常数1的变换：1=sin2α+cos2α，则1-2sinαcosα= sin2α+cos2α-2sinαcosα=(sinα-cosα)2，同理，1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2，再结合角的范围开方即可。

4. 幂的变换

降幂是三角函数变换时常用的方法，对次数较高的三角函数公式一般采用降幂处理方法，常用的降幂公式有：二倍角公式的逆用和同角三角函数平方关系式，降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂处理变成有理式。例4：化简cos8x-sin8x+ sin2x・sin4x。解析：本题中三角函数的次数较高，需要从降幂入手进行化简，先后用到平方差公式，二倍角公式和sin2α+cos2α =1。

总之，三角变换题目比较灵活，其解法也千变万化，没有固定的、唯一的解法。所以，在解题时，应根据题目的特点确定解题方法和变换技巧，再选择有关公式，千万不能对公式生搬硬套。如果在学习过程中多归纳、多总结，注意分析题目的结构及发现其规律，则可以结合所学的知识迎刃而解了。

参考文献：

三角函数变换规律篇2

由于三角函数的变换具有多向性、不定性，因此，学生对其理解不是很透彻，也比较难掌握每一种方法，但是“万变不离其宗”，其变化的基本思想与规律是不会变换的，下面进行详细分析.

一、三角函数变换中的几种常见类型

1.函数名称变换.在三角函数变换中，最为常见的是函数的名称变换，在名称变换的情况中最为常见的是切割化弦.对于三角函数名称的变换我们可以从化函数或者是化形式的方面进行思考.

在三角函数中，正弦与余弦是六个三角函数的基础，也是应用最为广泛的，其次是正切、余切，我们只需要将变换了的三角函数名称转换成为同名的三角函数，就能够成为我们常见的三角函数.比较常见的方式是“切割化弦”、“齐次弦代切”这两种转化方式.

2.三角函数“角”的变换.“角”的变换主要体现在了三角函数中的差角、余角、补角、半角等之间相互转换.随着三角函数“角”的变换，其相应的运算符号、名称、次数都会出现一定的变化，在解题的过程中，我们只需要认准三角角度之间的和、差、半、补、余等关系，利用已知的“角”来表示未知的“角”，然后再根据相关的关系运算，就能够顺利的解决三角函数的求解问题.

例1 设A、B均是锐角，且cos（A+B）=1213，cos（2A+B）=35，求cosB=？

分析：从题目中我们知道“已知角”是（A+B）、（2A+B），，B=2（A+B）-（2A+B）.

比较这三者之间的关系，我们只需要将B用A+B、2A+B表示出来，再利用两角差的余弦公式就能够轻松的解出cosB.

解：略.

3.三角函数“形”的变换.我们在对三角函数进行转化、求简或者求值的过程中，会根据一些情况来讲一些常数，比如1，2，1+2等转换成为与其相关的三角函数，其中利用常数1来转换是比较常见的.

从上文我们知道了，遇到这种情况，先利用已知条件，因此，我们利用“弦化切”来进行解答.我们利用整式中的分母都是相同4的情况，将其转换为1，将分母“1”转化为：sin2α+cos2α，从而简化解答.

在解答的过程中，我们要遵循由繁到简、由简到易的规律.

二、几种比较常用的三角函数变换解题方法

1.将“弦函数”与“切函数”进行相互的转换.将“弦函数”与“切函数”进行相互的转换是在平常的解答三角函数中比较常见的也是两种基础的转换手法.

如，在三角函数式中存在正切函数，我们就可以利用三角函数之间最为基本的关系或者是利用将“弦函数”转换为“切函数”来进行求解或者是证明.这种方法比较简单，学生掌握起来也比较快，在三角函数式中应用比较广泛.

2.采用“角”的等量代换.如，在三角函数中出现已知角与所求角时，我们要判断两者之间的相互关系，在确定两者之间存在某种关系的时候，我们就可以采用“角”之间的等量代换.

比如，α=（α+β）-β=β-（β-α）=（α+β）2+（β-α）2.

采用比较简单的“角”变换就能够将一些不容易解的题目变换为我们熟悉的题目来进行求解.

3.公式逆用或者变用对于公式或者定理，我们可以对其进行反推（从结果开始证明到题目），或者是将公式变换来进行用，会取到意想不到的效果.当然这必须建立在对公式或者定理足够熟悉的基础上，比如我们可以让学生熟练的使用2sin2x=1-cos2x、2cos2x=1+cos2x这些基础的三角函数公式，并作出引导的证明或者变换的证明，让学生反复练习，达到熟能生巧的地步.

除以上的基本解题方法，我们在教授学生的过程中要培养学生如何自己去解题，不是只会记“题”，要记住“题型”，会变换“题型”，我们所知的三角公式比较多，在解题的过程中假如没有选对公式或者选错了方向，那么解题过程就是一个泥潭，会越陷越深，在进行三角函数的变换过程中要：公式选择必须谨，角的范围尽量小，变量统一变，不局限一种方法，综合考虑.

三角变换的基本思想可以总结如下：找差异、建联系、选公式、促转化，在三角函数中无论题目是要求求值化简，还是要求我们证明某一结论，我们都应该将题目的中已知转化为未知，这也是所有解题的方法之一.根据整体已知的条件，找取相应的部分定理条件，或者是角之间的差异，或者是函数名称的差异，在找到差异之后，整个题目就迎刃而解了.

参考文献：

三角函数变换规律篇3

三角函数的图象是三角函数的概念和性质的直观形象的反映，是研究三角函数的性质的基础。而三角函数的图象的特征和性质，又是通过函数的图象变换反映出来的，因此掌握这一函数图象的变换关系及灵活运用，是分析和解决与三角函数的图象有关的问题的关键。同时，三角函数的图象变换也是历年高考中的常考内容。

下面浅谈三角函数的图象变换。对于这一函数的图象变换，课本上首先分别探索了、ω、A对图象的影响，即得到下面三种基本变换：

1、相位变换：把的图象上所有点向左（当>0时）或向右（当

2、周期变换：把的图象上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0

3、振幅变换：把的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0

然后在此基础上，归纳总结出由正弦曲线得到函数的图象的变换过程：

课本对于这一过程的归纳总结，虽然体现了由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，说明了图象的变换过程，但是学生在学习理解上却存在一定的困难，有相当部分的学生全靠死记硬背，形成思维定势。如果改变图象的变换顺序，即先进行周期变换，再进行相位变换，则容易产生错误。如对于的图象变换，在由变换到后，有些学生错误地认为：只需再将其图象向左或向右平移||个单位，而正确的图象变换应该是向左或向右平移个单位，即函数变换为。相位φ变换实质上就是将函数的图象向左或向右平移．当先作周期变换后作相位变换时，须提出系数ω，这是因为周期变化时改变了x的值，此时其初相位（非0初相）同时也改变相应得到改变，且改变的倍数相同．当先作相位变换后作周期变换，由于此时x的系数为1，系数提不提无影响，为了统一记忆我们也视为提出系数“1”．因而有“变φ要把系数提”之说。这样就避免了容易发生的错误，有助于分析和解决问题。请看下面的例题。

例1、要得到的图象，只需将函数的图象( )个单位长度

（A）向左平移 （B）向右平移 （C）向左平移 （D）向右平移

分析：因为，由图象变换可知应将函数的图象向右平行移动，移动单位为，即有，于是选（D）。

变式：要得到的图象，只需将的图象( )个单位长度

（A）向左平移 （B）向右平移 （C）向左平移 （D）向右平移

分析：因为，即，所以选（C）。

评注：进行图象变换时应切记无论是哪种变换都是对字母x而言的，注意到这一点就无须担心到底是先作相位变换还是先作周期变换。

例2、已知函数 ( )的图象如图1所示，那么( )

（A） （B）

（C） （D）

分析：由图象可知：又,

所以，于是选（C）。

评注：①此题牵涉到三角函数的性质、图象及其变换，要解决它需要综合应用这些知识；

②数形结合是数学中重要的思想方法，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。

例3、为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）

（A）向左平移 （B）向左平移 （C）向右平移 （D）向右平移

解： 因为，又题中变换与图象变换相逆，因此方向应向右，平移单位为：，所以应选（D）。

变式：将的图象沿x轴向右平移个单位长度，再保持图象上每个点的纵坐标不变，而横坐标伸长为原来的2倍，得到的曲线与相同，则是( )

（A） （B）

（C） （D）

解：将图象上的每个点的纵坐标不变，而横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，再将此图象向左平移个单位得到

，即，选（C）。

评注：图象变换的过程是可以互逆的。例题3及其变式的设计有助于培养学生的逆向思维能力，开阔学生的视野，做到举一反三，加深对知识的理解。

总之，为了让学生充分理解和完全掌握三角函数的图象变换，我们在设计相关题组时，可以对自变量x进行变化，可以对函数的解析式进行变化，还可以对变换过程的顺序进行变化。三角函数图象的周期、振幅、相位等变换的问题是历年高考中常考查的内容。对此类命题的求解，无论三种变换怎样摆设，先要弄清哪是原函数的图象，哪是新函数的图象，再根据三角函数的图象变换规律，很快就可得到解决。

参考文献：

三角函数变换规律篇4

考题解析

考点1：同角三角函数间的基本关系式与诱导公式。

此类问题容易因忽视角所在象限而失分。此题考查同角三角函数的基本关系与二倍角公式难度中等。

考点2：三角函数的图象。

本考点在高考中，一个是考察利用图象求解析式或用待定系数法求函数的解析式，题目难度不大，但常与三角函数的性质结合起来，求解的关键是确定各参数的值，另一个是考察三角函数图象的平移、伸缩、相位变换，尤其是平移变换。

例2（2012年湖南卷）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R， ω>0，0

考点3：利用恒等变换求值与化简。

利用恒等变换进行求值与化简，是每年高考必考内容，重点考察运用正、余弦函数的和、差角公式，正切函数的和、差角公式，以及倍角公式的正用、逆用、变形应用。从近几年高考趋势看，对于三角恒等变换求值与化简，高考命题以公式的基本运用、计算为主，在解题中一般有两个解题思路，一个是角的变化，即将多种形式的角尽量统一减少角的个数；二是"名"的变换，即三角函数名称的统一，要灵活利用公式，尽量实现切化弦，同时在实际解题时还要注意双管齐下，整体代换。

点评：在求三角函数值的问题中，要注意"三看"，即：一看角，把角尽量向特殊角或已知角转化；二看名，把三角函数中的切函数向弦函数转化，把多个函数名向一个函数名转化；三看式，看式子是否满足公式，能否逆用公式，能否向公式的形式转化。

考点4：利用恒等变换研究函数性质。

在高考中，恒等变换常与三角函数综合起来，通过恒等变换，将三角函数式化为"单角单函数"的形式，来研究三角函数的性质。

点评：要注意到三角函数名或角的差异，合理运用公式，进行恒等变换，化为"三角单角函数"的形式，进而研究三角函数的性质。

三角函数变换规律篇5

分部积分法是由两个函数乘积的微分运算法推得的一种求积分的基本方法，主要是解决某些被积函数是两类不同函数乘积的不定积分.

设函数u=u（x），v=v（x）具有连续的导数u′（x）和v′（x），则由乘积的微分运算法则d（uv）=udv+vdu，可得：udv=d（uv）-vdu.

两边积分得udv=uv-vdu或uv′dx=uv-vu′dx

上式称为分部积分公式，它把uv′的积分转化为vu′的积分，当右边积分可以求出或右边积分比左边容易求出时，就显示出分部积分公式的作用了.

一、引言

在引出一般规律之前，让我们来先看一个例子.

例题1：求xcosxdx.

解：若设u=x，dv=cosxdx=d（sinx），则v=sinx.利用分部积分公式，得xcosxdx=xd（sinx)=xsinx-sinxdx=xsinx+cosx+C

但若设u=cosx，dv=xdx，即v=x，则

xcosxdx=cosxd（x）=cosx•x-xd（cosx)

=xcosx+xsinxdx.

不难看出，等式右边的积分xsinxdx比原来的积分更加复杂了.

由此可见，如果u、v选择不当，用分部积分法所得的积分可能比原来的积分更难计算.

一般来说，如果被积函数是两类基本初等函数的乘积，在多数情况下，可按下列顺序：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数，将排在前面的那类函数选作u，后面的那类函数选作v′，然后进行分部积分即可.

二、分类探讨

1.对于xf（x）dx的积分［f（x）为指数函数（三角函数）］，选x作为u，将指数函数（三角函数）凑微分，变为dv.用一次分部积分公式，幂函数指数降低一次，反复用n次分部积分公式，指数降为零次，称为降次法.

例2：求xedx.

解：xedx=xe-2exdx=xe-2xde

=xe-2（xe-edx）=xe-2xe+2e+C

2.对于xf（x）dx的积分［f（x）为反三角函数（对数函数）］，选反三角函数（对数函数）作为u，将xdx凑微分.因反三角函数（对数函数）的微分形式较为简单，故可将原积分转换为较简单形式的积分，亦即转换法.

例3：求xlnxdx

解：xlnxdx=lnxd（-）=-lnx+•dx

=-lnx-+C

（3）对于f（x）g（x）dx的积分［f（x）为指数函数，g（x）为三角函数］，u与dv可随意选取，但用一次分部积分公式无法求出结果，需用两次分部积分公式，且两次必须选同一函数类型的函数凑微分，可得关于所求积分的一个循环等式，然后利用解方程的形式求解出结果，称为循环法.

例4：求ecosxdx.

解：ecosxdx=ed（sinx）=esinx-2esinxdx

=esinx+2ed（cosx）

=esinx+2（ecosx-2ecosxdx）

所以ecosxdx=e（sinx+2cosx）+C.

4.当被积函数是某一简单函数的高次幂函数时，可通过分部积分法得到高次幂函数与低次幂函数的积分关系，称为递推法.

例5：求L=（lnx）dx，并且计算L.

解：L=（lnx）dx=x（lnx）-xd［（lnx）］

=x（lnx）-n（lnx）dx

=x（lnx）-nL

通过计算出L、L、L便可以递推计算出L，这里不再赘述.

5.除了应用上述四种方法之外，有时我们也需要将换元法贯穿在分部积分中来简化计算，下面来看一个例子.

例6：求sindx.

解：被积函数中含有根式，可以先换元再分部积分。设=t，则x=t（t＞0），dx=2tdt，所以

sindx=sint•2tdt=2t•sintdt

=-2td（cost）=-2（tcost-costdt）

=-2（tcost-sint）+C

=2（sin-cos）+C

三、规律总结

综合以上各例，一般情况下，u与dv可以按照以下规律选择：

1.形如xsinkxdx、xcoskxdx、xedx（n为正整数）的不定积分，可令u=xn，余下的则为dv（亦即dv=sinkxdx、dv=coskxdx、dv=edx）.如例1、例2；

2.形如xlnxdx、xarctanxdx、xarcsinxdx（其中n为零或正整数）等的不定积分，应令dv=xdx，余下的为u（即u=lnx、u=arctanx、u=arcsinx）.如例3；

3.形如esinbxdx、ecosbxdx的不定积分，可以任意选择u和dv.但应注意，因为要使用两次分部积分法，两次选择的u与dv应保持一致，即如果第一次令u=e，则第二次也须令u=e，只有这样才能出现循环公式，然后用解方程的方法求出积分.如例4；

4.当积分式中出现由两种或多种简单函数复合而成的函数时，可利用换元法，将内层函数用t代替，然后进行分部积分，最后再将t还原成对应函数即可.如例6.

在利用分部积分法求解积分时，关键是在正确选择公式中的u和dv，然后才能进行分部积分，否则可能将问题复杂化，得不出正确的结果.在求解积分时，有时分部积分法只能解决积分式中的一部分，还需灵活运用其他的积分方法（如：换元积分法等），才能达到正确求解积分的目的.此外，“反、对、幂、指、三”的规律，适用于一般情况下的分部积分，但对于特殊情况还需特殊对待.

参考文献：

［1］史俊贤，惠淑荣.高等数学（第二版）［M］.大连：大连理工大学出版社，2005.

［2］熊章绪.微积分教程［M］.北京：科学出版社，2009.

［3］章学诚，刘西垣.微积分［M］.武汉：武汉大学出版社，2007.

［4］费伟劲.高等数学――微积分［M］.上海：立信会计出版社，2010.

［5］华东师范大学数学系.数学分析（上册）2版［M］.北京：高等教育出版社，1991.

三角函数变换规律篇6

为了提高学生的思辨能力，教师要培养学生思维的独创性.教师在数学教学中要注重方法的指导，鼓励学生创新，让学生通过创新表现出智慧；通过联想、观察、类比、寻求最简洁的方法，形成自己的解题策略和模式.学生掌握了学习方法会在探究中主动地进行思辨，学生会找出知识之间的关系，归纳出本质性的联系，并且通过逻辑表达来进行陈诉和交流，实现学生潜能的发挥.通过学生不断地对学习方法和学习思路的探究，学生的创新能力也会得到开发，促进学生思辨能力的提高.

则满足f（x）≤2的x的取值范围是什么？在思考中学生会认识到解决分段函数问题的中的原则是分段解决，设计到分段函数的不等式问题，要注意分段函数在不同区间上解析式的应用，同时注意其定义域对x的范围的限制.分两段分别列出不等式组，两个不等式组解集的并集即为所求的结果.学生的思考使学生有了自己的思路，找到了解决问题的方法，同时在辨析中有的学生认识到了不能忽视分段函数各段的定义域对不等式解集的影响而直接求解，造成失误.也不能忽视分段函数的整体性，人为地割裂各段造成失误.学生之间的思辨使学生全面地分析和探究了问题，促进学生参与到数学学习活动中，在思辨中提高学习能力.

二、思辨中发散思维，培养思维的灵活性

教师在数学教学中往往通过例题对学生进行指导，让学生掌握知识.可是教师教给学生的方法知识是其中的一种，其实问题是固定的，方法是多种多样的.教师要指导学生灵活运用各种方法去解决问题并且总结解决问题的方法规律.或者是引导学生改变原来的思考方向，进行发散思维、变式教学，让学生可以朝着多角度和多方面去思考，能够做到一题多解、一题多变.当学生能够灵活掌握各种方法后，教师要帮助学生从中选优，进行比较鉴别，选择最好、最快的方式去解决问题.

例如学习了“简单的三角恒等变换”后，学生能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换.通过学生对于知识的探究和思辨，学生的思维会发散，对于规律的认识也会逐渐全面，使学生能够在理解的基础上进行思考和探索.在思辨中学生会总结出常用的三角恒等变换技巧：角变换时要观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角；函数名称变换时要观察比较题设与结论之间，等号两端函数名称差异，化异命为同名；次数变换时常用方式使升幂或降幂，主要是二倍角余弦公式及其逆向使用.思辨帮助学生形成对于数学规律的认识，促进学生灵活地掌握知识，在解题过程中使用的得心应手.

三、思辨中参与过程，培养学习的实践性

三角函数变换规律篇7

对于平面直角坐标系内点（x，y）的平移只能是沿x轴方向左右平移或沿y轴方向上下平移.

1. 点的平移规律：

当点P（x，y）沿x轴方向左右平移到A时，只能给x带来变化，即A；其中右移h为正，左移h为负；

当点P（x，y）沿y轴方向上下平移到B时，只能给y带来变化，即B（x，y+k）；其中上移k为正，下移k为负.

点的对称规律：

当点P（x，y）关于x轴对称到点A时，只能给y带来变化，变为y的相反数，即A（x，-y）；

当点P（x，y）关于y轴对称到点B时，只能给x带来变化，变为x的相反数，即B（-x，y）；

当点P （x，y）关于原点中心对称到点C时，能给x、y都带来变化，都变为x、y的相反数，即C （-x，-y）.

以上变换规律不但适用于点的变换，而且对于一次函数、反比例函数及二次函数图像的变换均成立与适用.

2.函数图像的平移规律：

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）沿x轴方向左右平移时，只能给自变量x带来变化，即y=k（x-h）+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=a（x-h）2+b（x-h）+c（a≠0）；其中右移h为正，左移h为负；

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）沿y轴方向上下平移时，只能给函数y带来变化，即y=kx+b+m（k≠0）、y=+m（k≠0）、y=ax2+bx+c+m（a≠0），其中上移m为正，下移m为负.

函数图像的对称规律：

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于x轴对称时，函数y变为y的相反数，即y=-kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2-bx-c（a≠0）；

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于y轴对称时，自变量变为x的相反数，即y=-kx+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=ax2-bx+c（a≠0）；

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于原点中心对称到点C时，能给x、y都带来变化，都变为x、y的相反数，即y=kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2+bx-c（a≠0）.

二、平面直角坐标系内点、函数图像的变换技巧与拓展应用

例1：阅读下面的材料：

在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图像所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图像为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图像为直线l2，若k1=k2，且b1≠ b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行.

解答下面的问题：

（1）求过点P（1，4）且与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图像；

（2）设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行且交x轴于点C，求出ABC的面积S关于t的函数表达式.

思路点拨：在（1）中，要求出与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式，关键在于弄清直线的平移情况.因已知直线平移后经过点P（1，4），不防设一个点M（1，a），通过代入求出a的值，进而确定出平移的方向和单位长；在（2）中，因直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行，可知k=-2，进而用有关t的代数式表示出C点的坐标，此时要分类讨论点C的位置，要分两种情况借助面积公式求解出有关面积S关于t的函数表达式.

解析：（1）点M（1，a）是已知直线y=-2x-1上的一点，将x=1代入已知直线得a=-2×1-1=-3，则M（1，-3）平移到P（1，4），是沿y轴向上平移7个单位，即y=-2x-1+7，化简得直线l的函数解析式为y=-2x+6；

（2） 直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，点A、B的坐标分别为（0，6）、（3，0）.

l∥m，直线m为y=-2x+t.C点的坐标为（，0）.

t＞0，＞0 .

C点在x轴的正半轴上.

当C点在B点的左侧时，S=×（3-）×6=9-；

当C点在B点的右侧时，S=×（-3）×6=-9 .

ABC的面积S关于t的函数表达式为：

S=9-（0＜t＜6），-9（t＞6）.

评注：平移法则是：当函数的图像向上或向下平移时，原函数的函数值y变为y+k，其中上移k为正数，下移k为负数，而自变量不变.

例2：如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．

（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点．

①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

思路点拨：在（1）中，使AQ+QB最短，必须满足两点之间线段最短，即作出B关于x轴对称点P的坐标，进而可知线段AP的距离最短，再求出直线AP与x轴的交点从而得到Q点的坐标；在（2）中，抛物线在平移过程中A、B两点的位置、数量大小关系并没有改变，改变的仅是它们的坐标，要使距离仍然最短，只是将点Q向左平移到点C，从而得到抛物线左移的距离，运用平移规律求解抛物线的解析式，使四边形A′B′CD的周长最短，要进行分类考虑左移与右移.

解析：（1） 将点A（-4，8）的坐标代入y=ax2，解得，将点B（2，n）的坐标代入，求得点B的坐标为（2，2），则点B关于x轴对称点P的坐标为（2，-2）．

直线AP的解析式是y=-x+，令y=0，得x=．即所求点Q的坐标是（，0）.

（2）①抛物线上A、B两点的位置已确定，要使A′C+CB′ 最短，也就是让点Q沿x轴向左平移到点C，其中CQ=|-2-|=，即将抛物线y=x2向左平移个单位时，A′C+CB′最短.

此时抛物线的函数解析式为y=[x-（-）]2，即y=・（x+）2．

②左右平移抛物线y=x2，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短.

第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′＞AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．

第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）.因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′（-b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．点A′关于x轴对称点的坐标为A′′（-4-b，-8），直线A′′B′′的解析式为y=x+・b+2，要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D（-4，0）代入直线A′′B′′的解析式，解得b=．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为y=[x-（-）]2，即y=（x+）2.

评注：平移法则是：当函数的图像向左或向右平移时，原函数函数解析式中的自变量x变为x-h，其中右移h为正数，左移h为负数，而函数值不变.

例3：如下页图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；

（2）如图（1）：

a.若将抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线的解析式；

b.抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4. 抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

思路点拨：将点B（1，0）代入C1的解析式能快速地求出a的值；在（2）中，抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，则说明变量x、y都变为相反数；当点P、M关于点B成中心对称时，要求出C3的解析式关键是求出顶点M点的坐标，而B点坐标为（1，0），利用对称性及通过添加适当的辅助线、全等知识等可得顶点M（4，5），且抛物线C3开口向下，运用顶点式便可求出C3的解析式；在（3）中，抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4 .其实就是P，N关于点Q成中心对称，根据对称性可设字母m表示出N、E、F等各点的坐标，探究以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，要进行适当的分类考虑：三个角都有为直角的可能，再利用相关的勾股定理等确定其中所设字母m的值，进而求出Q点的坐标.

解析：（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2-5得顶点P（-2，-5）.

点B（1，0）在抛物线C1上，0=a（1+2）2-5，解得a= .

（2）a：抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，先自变量x变为y=（-x+2）2-5，函数值y变为y=-（-x+2）2+5；

b：连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G ，点P、M关于点B成中心对称.

PM过点B，且PB=MB，PBH≌MBG，MG=PH=5，BG=BH=3.

顶点M的坐标为（4，5）.

抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到.

抛物线C3的表达式为y=-（x-4）2+5.

（3）抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到顶点N、P关于点Q成中心对称， 由（2）得点N的纵坐标为5.

设点N坐标为（m，5），作PHx轴于H，作NGx轴于G，作PKNG于K，旋转中心Q在x轴上，EF=AB=2BH=6，FG=3.点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5）.

三角函数变换规律篇8

一、周期函数的引入

众所周知，世界上的万事万物都在不停地运动、变化，其中又有很多事物都按照一定规律运动、变化。“离离原上草，一岁一枯荣”，即描写了因地球的自转、公转而引起的寒暑易节重复出现的规律。与此类似，有些函数也有这种现象，起函数值按照一定规律不断重复出现，如函数y=sinx、y=cosx等。周期函数就是研究这种函数按照一定规律不断重复出现的。

二、周期函数定义剖析

人教版高中教材对周期函数的定义是：一般地，对于函数y=f（x），如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把这个函数y=f（x）叫做周期函数，不为0的常数T叫做这个函数的周期。

（1）定义中的“每一个x”即函数定义域内的所有x都有f（x+T）=f（x）成立才行。这里只要有一个x不能使该关系成立，则T就不是f（x）的周期。如函数y=sinx（x≠0），由于f（2π）=0， f（0）没有意义，f（2π+0）≠f（0），T=2π就不是函数y=sinx（x≠0）的周期。事实上，由于f（0）没有意义，所以就不存在这样的常数T≠0，使得f（0+T）=f（0）成立，所以函数y=sinx（x≠0）就不是周期函数。

（2）关系式f（x+T）=f（x）隐含这样一个事实：若x是f（x）定义域内的任一个值，则x+T一定是该定义域中的一个值，同时（x+T）+T还是该定义域中的一个值。以次类推，x+nT是定义域中的一个值……，所以周期函数的定义域一定是“无限的”，象函数y=sinx，x∈（-4π，4π）就不是周期函数。

（3）周期函数的定义域是“无限的”，不是说其定义域一定是一切实数，只是说其定义域不能受某一数“限制”。有些周期函数的定义域就是无数个区间的并，如y=tgx的定义域就不是一切实数；又有些周期函数的定义域为无数个零点，如y=的定义域为x=kπ（k∈Z）。

（4）若有f（x+T）=f（x），用x-T代换x 得f（x）= f（x-T），用用x-T代换x 得f[（x+T）+T]=f（x）f（x+T）=f（x）成立，即f（x+2T）=f（x）；同理还可得f（x+3T）=f（x），以次类推，并依定义可知：若f（x）的周期为T，则-2T，-T，T，2T，3T，…，nT，…全部是f（x）的周期，即周期函数的周期应为无数多个，如y=sinx的周期有：…，-4π，-2π，2π，4π，6π，…

三角函数变换规律篇9

【中图分类号】G718.1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）8 -0178-02＼

一、正弦型曲线在中职数学课的地位

正弦型曲线是全国中等职业技术学校通用教材《数学？电子电工类》（第五版）第一章1.3正弦型曲线与正弦量其中部分内容。作为函数，它是已学过的正弦函数及其诱导公式的后继内容，也是三角函数的基本内容，因此，本节在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。

正弦型曲线是在学生掌握了三角函数的定义、诱导公式、五点作图的基础上的一节新授课，是学生对所学内容的巩固以及五点作图熟练程度的加深和三种图象变换的熟练应用，是一节函数图象探究的重要范例，也是提高学生识图能力、画图能力、数形结合思想等的一次锻炼。通过本节课要求学生熟练掌握五点作图和三种图象变换。

另外，正弦型曲线是代数与几何的有机结合，又为电工专业课中正弦交流电电压、电流波形图的学习打下基础，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁，同时在日常生活中应用广泛，如简谐运动、机械波等。因此，本节课的学习十分重要。而怎样的教学能让学生真正掌握本节课的知识？本人就这个问题进行探索研究，积累了一些做法，收到了积极效果。

二、正弦型曲线的教学策略

（一）理清重点。本节课的学习目标是熟悉用“五点法”作正弦型函数的图像、了解函数的图像可由正弦曲线经过三种变换得到。

函数及其图像历来是学生的弱项，尤其是三角函数。“五点法”作图作为描绘函数图像最基本、最重要、最具操作性的方法，是每个学生必须掌握的基本技能，是学生能否成功得出图形变换规律的关键所在。因此“五点法”作图应为教学重点之一，目标是让学生理解和掌握作图的要点，并能够画简单函数的图像。其次是正弦型曲线的画法及其变换关系。用五点法画出函数图像，并得到图像规律后，应运用多媒体课件或学生课堂演练对得到的规律进行考察和检验，并加以练习，指出“五点法”和“图形变换法” 之间在画图上的联系与区别，体会图形变换的奥妙，才能达到本次课的教学目标。

（二）适当简化。首先，明确教学对象是一年级的中职生，教学时间为第一学期。学生的基本情况是只在初中粗略学过正余弦函数及其图像性质，能画出函数草图的寥寥无几，了解“五点法”作图的几乎为零。对于一般画图步骤：列表―描点―连线，许多学生感到茫然。针对这种情况，除了要补充必要的基础知识外，教学中还要适当简化问题，让学生有充裕的时间循序渐进掌握知识。例如，从初中正弦函数的画法（如图1），观察图像得到特殊“五点”便是简化问题的体现。又如从正弦曲线获得“五个特征点”时，学生不难得出此五点分别是一个周期内的“起点、最高点、中点、最低点和终点”，但要获得一般正弦型曲线y=Asin（ωx+φ）五点的一般坐标

，0，

+

，A，

+

，0，

+

，-A，

+T，0，还需要将问题简化。这里涉及两点内容：起点是否在原点、五点与周期之间的关系。因此，可以先简化问题，将正弦型曲线的起点设定为原点（即y=Asin（ωx），学生则容易根据正弦函数的五点坐标得出此时五个特征点分别为0，0，

，A，

，0，

，-A，T，0，并总结方法，巩固练习之后再学习起点不在原点的正弦型曲线。这种化繁为简，步步为营的方法不仅学生易于接受和掌握，同时可以发挥学生的主观能动性，让学生动脑、动手，从探究中获得知识。

（三）整合知识。

1根据需要整合课本前后知识。正弦型曲线的教学可将后续即将学到的正弦量三要素，以及周期、频率和相位提前讲解。这样正弦型曲线的解析式呈现在学生的面前就不仅仅是字母与数字，学生能在理解函数解析式的情况下研究各个变量对其图像的影响，明确目的，做到有意义学习。尤其是对于解析式中周期T的公式求法，将有利于学生理解正弦型曲线的周期性，以及根据解析式准确求出五点的坐标。

2根据需要整合专业课程知识。数学因其知识的抽象性、应用的广泛性才从专业课中分离出来，与专业课程相辅相成，共同发展。但实际教学中仍要主动考虑专业需求，结合专业内容整合教学，扩大专业学科向数学的渗透，填补教材中知识的短缺。本节课教学可以引入电工电子技术基础中的各种电路模型、基尔霍夫定律、正弦交流电、三相交流电（如图2）等，这样既能使原本零碎夹杂在专业课本中的数学知识，归入到数学体系中，又能对原本教学内容进行扩充和加深。这种要求强调把知识作为一种工具、媒介和方法融入到教学的各个层面中，通过多种学科的知识互动，培养学生的学习观念和综合实践能力，促进师生合作，实现以学生为主体的课堂理念。

（四）“数形分家”。 课本根据y=Asin（ωx+φ）的三个参数A、ω、φ、按照列表―描点―连线―得出规律的思路设置了三个探究。这无疑是一个巨大的挑战，学生如若没有牢固的作图基础，根据不同条件画图都将是一个难题，更别说在一次课中就经历三次完整的数形结合循环：公式图形规律，尤其是程度处于中下水准的学生，更是难于操作，课后也记不住。

因此，本次课的教学可以采用将代数与几何暂时分离的方法，第一节课的教学主要是根据原点是否在起点分开求解两种正弦型曲线的五点坐标公式，并让学生用公式求解给定正弦型函数的“五点”坐标以巩固知识，并不画图。第二节课则让学生根据上节课所求得的“五点”坐标严格按照描点―连线的步骤画图，并研究三种图像规律。这样的教学将原先三段式教学降为两段式教学，既可以让学生的知识结构系统化，同时也能让学生深刻体会“以数解形” （即借助于数的精确性来阐明形的某些属性）和“以形助数” （即借助图像的直观阐明数之间某种关系）的数学思想，体会到数形结合的魅力。

三、结语

本节内容学生要掌握“五点法”作图、理解并三个参数对函数图象的影响，方法不唯一，知识密度大，理解掌握起来相对困难。因此，教师在教学过程中要能精读教材、钻研教材和处理好教材，根据学生的具体特点，运用恰当的方法精心教学，并不断反思总结，慢慢积累经验，渐渐把握规律，化难为易，逐渐优化教学效果，提高教学质量，让学生实现全面身心发展。

参考文献：

三角函数变换规律篇10

1.“角”的变换

解决三角函数的问题，角的转化是常见类型，虽然常见，但却包罗万象，有倍角、半角、和角、差角、凑角、余角、补角等等，通过角的变换这一纽带，转变函数的运算符号和名称，或是次数，促使问题简单化、“已知化”，通过转化顺利求解原问题.在解决具体问题时，应注重拆和拼的技巧.如α=（α+β）-β=β-（β-α）=α+β2-β-α2.

例1已知3sinβ=sin（2α+β），求证tan（α+β）=2tanα.

评析我们可以将角进行转换：β=α+β-α；2α+β=α+β+α.从3sinβ=sin（2α+β）这一已知式出发，得到3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），再由此出发进一步推导就可以得证.

2.“名称”变换

在学习中经常会遇到名称不同的三角函数，为此“名称”变换是三角函数问题中最常见的类型.首先应将其转换成同名的三角函数，“切割化弦”、“齐次弦化切”是我们高中数学最为常见的函数名称转化策略，突破口在于“化函数”或者是“化形式”，从三角函数常见性来看，“正弦”和“余弦”的应用最广，是三角函数的基石，“正切”也很常见.

例2（江苏卷・2010年）锐角三角形ABC中，三个顶角A，B，C对边分别为a，b，c，若已知ba+ab=6cosc，则tanCtanA+tanCtanB=.

评析三角函数与解三角形相结合.从要求的式子着手，将切化弦，变形成sin2CsinAsinBcosC，将原式用正弦定理转化为sinAsinBcosc=16（sin2B+sin2A）代入化为6sin2Csin2B+sin2A，再将原式用余弦定理化为a2+b2=32c2即可求得答案.此题作为2010年江苏高考填空13题相对要求较高，但是都属于三角及解三角形的常规题型的结合.

例3（全国卷・2013）设θ为第二象限角，若tan（θ+π4）=12，则sinθ+cosθ=.

评析本题可先通过计算tanθ然后借助角的范围确定sinθ与cosθ.

3.“形”变换

从具体的三角函数问题来看，运算过程中需要将代数式中的常数进行变换，最常见就是转化常数“1”.

例4（辽宁高考文科・2009）已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）.

A.34 B.54 C.-34 D. -54

评析从已知条件分析可以看出这一考题需要进行“名称变化”（弦化切）和“形变换”（将分母“1”化为sin2θ+cos2θ）.

例5已知tanθ=2，求值：

（1）sinθ-cosθsinθ+cosθ； （2）sin2θ-cos2θ.

常规思想：利用同角三角函数的关系，求出sinθ，cosθ，但是由于θ在一、三象限，所以还要分类讨论，比较麻烦.

简便思想：（1）分子分母同除以cosθ，转化为tanθ-1tanθ+1；

（2）“1”的代换，最终转化为tan2θ-1tan2θ+1.

二、高中数学复习建议

高中数学复习尤其是高三时间紧、任务重，没有科学的复习方法，难以帮助学生形成有效的联结，透过上述三角函数变化问题，笔者认为高三复习应注重以下几点：

1.科学制定计划，确保复习思路清晰化

既然时间紧，那么我们的复习思路必须清晰，确保走好每一步，应将一类问题放到一块，提高专题训练选题的科学性，站在学生的视角，通过问题的呈现形式差异将知识点、方法囊括进来，将复习课上成是引导学生自主应用规律和方法解决实际问题的探究课，通过具有联系问题的解决，实现方法和技能的沉淀.例如上文中三角函数变化的方法，通过具体的例题进行训练.

2.注重讲评策略，形成有效的知识网络

（1）重基础、勤应用.我们学生之所以在解题时出现障碍，其根本原因在于基础不牢.学习有一个从认识到理解再到应用的过程，对于复习而言，首先就应该引导学生顺利完成基础知识、基本方法的复认.如何复认和回忆呢？笔者在高三复习教学中通常是设置具体的问题情境（例题），学生分析例题、解题的过程是应用知识的过程，实现知识、方法的复认与应用同时施展.

三角函数变换规律篇11

一、学生在学习三角函数时遇到的问题

1.概念理解不透彻

数学概念理论是学生解决三角函数问题的理论依据，蕴含着丰富的数学思想。由于三角函数的数学概念较为抽象，学生对其理解不透彻。比如在sin（2x+10π），我们可以用诱导公式得出原式等于sin2x，这是直接运用了诱导公式计算出来的：sin2（x+π）=sin（2x+2π）=sin（2x+360?）=sin2x。学生如果对诱导公式理解不到位，这道题就很有可能答不出来。还有很多学生对函数图像不熟悉，造成sinx和cosx图像混淆，周期不熟悉，在对后期图形变化时观察不足，分析不准确，这些都会造成学生在数学考试中一些简单的选择填空得不到分。长此以往，学生对学习三角函数会产生厌倦感，失去学习兴趣。

2.学生综合型学习知识较差

三角函数是高中数学中应用范围最广的知识点，它和其他知识点应用在一起的可能性极大，一般考试中主要还是与其他知识点综合起来考查学生。例如，某兴趣小组想测量一座楼CD的高度，先在A点测得楼顶C的仰角为30度，然后沿AD前行10米，到达B点，在B点测得楼顶C的仰角为60度，请根据测量的数据计算楼高CD。

以上问题是将实际问题与函数知识相结合，一些学生往往想不到要用三角函数来解决，知识迁移能力不足，综合学习知识能力较差。

3.三角函数公式变形记忆较差

由于三角函数公式较多，学生在记忆过程中容易记混或记不牢固，在后期做题过程中有些复杂的公式经过变形可以简单化，一些学生记不住公式导致做题步骤繁多，并且还容易出现计算错误。例如，在求函数y=sin2x+√3cos2x的最大值、最小值及周期时，可以进行相应的化简y=sin2x+√3cos2x=2（1/2sin2x+√3/2cos2x）=2（cosπ/3sin2x+sinπ/3cos2x）=2sin（2x+π/3）函数的周期T=2π/2=π，公式经过合理化简后解题更加简便。

二、提高三角函数教学质量的措施

1.丰富学生的解题技巧

在学习三角函数的过程中，由于三角函数自身存在灵活性，学生在解答问题时需要进行相关的简便解答。其实，三角函数的固定题型分为几种，教师可以对每类数学题进行相关的经验总结和指导，使学生在解答过程中把握解题规律，熟悉解题技巧，从而在后期的学习中更加快速学习。

例如，在学习角转换过程中sin20?cos70?+sin10?sin50?，计算这个式子的值，可以转换成角来计算，具体步骤如下：

sin20?cos70?+sin10?sin50?=（1/2）[sin90?+sin（-50）?]+（1/2）（cos40?-cos60?）=（1/2）（1-sin50?+sin50?-1/2）=（1/2）（1/2）=1/4

通过数字和角之间的相互转换，学生在做这类题型的时候就有了解题思路，丰富了学生的解题技巧，激发了学生学习数学的积极性，促进教师教学目标的完成。

2.强化学生的画图意识

三角函数一般是高中一年级的知识点，低年级学生虽然有一定的知识储备，但是对抽象化的数学概念理解依旧不足，因此，教师可以采用图像法加强学生对知识点的记忆。三角函数涉及的知识较多，如性质、对称性等，单纯靠记忆很难记忆准确。教师可以将抽象的三角函数概念具体化，帮助学生进行理解，提高学生的学习效率。

例如，在求三角函数y=sin（π/3-2x）的单调递增区间时，除了运用传统的公式法y=sin（π/3-2x）=-sin（2x-π/3），令2kπ+π/2≤2x-π/3≤2kπ+3π/2，求得kπ+5π/12≤x≤kπ+11π/12。

故该题的增区间是[kπ+5π/12，kπ+11π/12]，学生还可以利用图像的平移变换来计算。通过增强学生的画图意识，拓宽学生的做题思路，让学生将知识点与图像结合起来，更有利于解答问题。

3.将三角函数知识融入教学过程

三角函数的知识点贯穿于整个高中数学学习过程中，所以教师应该将该知识点放到整体教学过程中，学生在学习其他知识的同时也能够对三角函数知识点进行复习与巩固。教师要创新教学方式，根据学生的学习规律来制订教学计划。

三、结束语

高中数学学习中应用到三角函数知识点的地方众多，学好该知识点对学生学习高中数学具有重要作用。因此，教师一定要在抓住教学要点进行教学方式的创新，采用学生能够理解的学习方法，有针对性地教学，激发学生学习三角函档男巳ぁQ生在巩固基础知识的基础上进行知识扩展，提高学生学习三角函数的能力，达到预期的教学效果。

三角函数变换规律篇12

数学概念理论是学生解决三角函数问题的理论依据，蕴含着丰富的数学思想。由于三角函数的数学概念较为抽象，学生对其理解不透彻。比如在sin（2x+10π），我们可以用诱导公式得出原式等于sin2x，这是直接运用了诱导公式计算出来的：sin2（x+π）=sin（2x+2π）=sin（2x+360?）=sin2x。学生如果对诱导公式理解不到位，这道题就很有可能答不出来。还有很多学生对函数图像不熟悉，造成sinx和cosx图像混淆，周期不熟悉，在对后期图形变化时观察不足，分析不准确，这些都会造成学生在数学考试中一些简单的选择填空得不到分。长此以往，学生对学习三角函数会产生厌倦感，失去学习兴趣。

2.学生综合型学习知识较差

三角函数是高中数学中应用范围最广的知识点，它和其他知识点应用在一起的可能性极大，一般考试中主要还是与其他知识点综合起来考查学生。例如，某兴趣小组想测量一座楼CD的高度，先在A点测得楼顶C的仰角为30度，然后沿AD前行10米，到达B点，在B点测得楼顶C的仰角为60度，请根据测量的数据计算楼高CD。

以上问题是将实际问题与函数知识相结合，一些学生往往想不到要用三角函数来解决，知识迁移能力不足，综合学习知识能力较差。

3.三角函数公式变形记忆较差

由于三角函数公式较多，学生在记忆过程中容易记混或记不牢固，在后期做题过程中有些复杂的公式经过变形可以简单化，一些学生记不住公式导致做题步骤繁多，并且还容易出现计算错误。例如，在求函数y=sin2x+√3cos2x的最大值、最小值及周期时，可以进行相应的化简y=sin2x+√3cos2x=2（1/2sin2x+√3/2cos2x）=2（cosπ/3sin2x+sinπ/3cos2x）=2sin（2x+π/3）函数的周期T=2π/2=π，公式经过合理化简后解题更加简便。

二、提高三角函数教学质量的措施

1.丰富学生的解题技巧

在学习三角函数的过程中，由于三角函数自身存在灵活性，学生在解答问题时需要进行相关的简便解答。其实，三角函数的固定题型分为几种，教师可以对每类数学题进行相关的经验总结和指导，使学生在解答过程中把握解题规律，熟悉解题技巧，从而在后期的学习中更加快速学习。

例如，在学习角转换过程中sin20?cos70?+sin10?sin50?，计算这个式子的值，可以转换成角来计算，具体步骤如下：

sin20?cos70?+sin10?sin50?=（1/2）[sin90?+sin（-50）?]+（1/2）（cos40?-cos60?）=（1/2）（1-sin50?+sin50?-1/2）=（1/2）（1/2）=1/4

通过数字和角之间的相互转换，学生在做这类题型的时候就有了解题思路，丰富了学生的解题技巧，激发了学生学习数学的积极性，促进教师教学目标的完成。

2.强化学生的画图意识

三角函数一般是高中一年级的知识点，低年级学生虽然有一定的知识储备，但是对抽象化的数学概念理解依旧不足，因此，教师可以采用图像法加强学生对知识点的记忆。三角函数涉及的知识较多，如性质、对称性等，单纯靠记忆很难记忆准确。教师可以将抽象的三角函数概念具体化，帮助学生进行理解，提高学生的学习效率。

例如，在求三角函数y=sin（π/3-2x）的单调递增区间时，除了运用传统的公式法y=sin（π/3-2x）=-sin（2x-π/3），令2kπ+π/2≤2x-π/3≤2kπ+3π/2，求得kπ+5π/12≤x≤kπ+11π/12。

故该题的增区间是[kπ+5π/12，kπ+11π/12]，学生还可以利用图像的平移变换来计算。通过增强学生的画图意识，拓宽学生的做题思路，让学生将知识点与图像结合起来，更有利于解答问题。

3.将三角函数知识融入教学过程