高一数学解题公式篇1

在数学公式学习和探究过程中，学生要熟悉所学数学公式，理解数学公式的内在规律和这些规律的来源，探究公式的结构特征，这样才能切实掌握、直接运用它们。有很多问题不能直接运用公式，还要通过合理的变形和创造条件，使之达到公式的特征，然后才能运用公式，这能提高学生的思维和创新能力。因此，在教学中要设法让学生理解公式、掌握公式特征，巧妙运用公式。本人经过多年对公式教学的探究，总结得出一些通过合理运用公式提高学生运用公式能力的方法。

一、抓住特征，直用公式

在学习探究公式过程中，理解公式中字母、符号表示的含义很重要。常常先通过它的几何意义理解公式，再通过分析公式特征进一步理解公式，然后根据公式特点形成口诀，以加深学生对公式的理解和记忆。如，完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，先通过构成正方形面积的两种求法理解公式，再分析公式特点，形成口诀：“两数和的平方，等于前平方加上后平方，再加积的2倍在其中”，然后通过例题讲解和习题的训练让学生掌握。现行教材中配备了不少直接运用公式的例题和习题，如，苏科版数学教材七年级下册P64例1和P65练习就是直接运用公式的。通过一系列习题让学生加深对公式的理解，并能得心应手，准确无误地运用公式，为学生“活用”公式、“创用”公式夯实基础。

二、逆向思维，巧用公式

逆用公式是一种逆向思维，如，平方差公式，即（a+b）（a-b）=a2-b2，它是把积的形式转化为多项式；反过来也可以根据这个公式，把一个二次二项式写成积的形式，即a2-b2=（a+b）（a-b），这就是公式的逆用。利用公式的逆用，可以巧妙地解决许多数学问题。这是数学中常见的一种方法，主要培养学生逆向思维的能力。学生在解题时往往是由左向右，逆向不习惯，而“逆用”公式可以促进学生对公式的更深刻理解，能开拓学生的思维。逆用公式时，要让学生判断公式的逆命题是否是真命题，并要注意成立的条件。通过对公式的正向和逆向比较，学生认为有些问题运用逆用公式解题比较简便，摆脱了正向定势的思维方式，培养了学生逆向思维的能力，从而提高了解题的效率。如，“计算：2432-1572”，直接计算比较繁，逆用平方差公式计算，把问题化解成为可以运用公式的形式为（243+157）×（243-157），化繁为简，大大提高了效率。

三、整体思维，变用公式

为了考查学生的整体思想及灵活性，有时习题不能直接运用公式，解题时就要对习题进行变形，从而达到符合公式的特点，然后再运用公式解题。变用公式解题可以提高学生思维能力的灵活性。例如，已知a+b=5，ab=4，求a2+b2和a3b+2a2b2+ab3的值。从题型看，不好直接运用公式，但通过式子的变形可以转化成可运用的公式来解，题1把平方和灵活地转换成完全平方公式，就可以代入求得a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×4=17，题2通过提取变形得到完全平方式，然后代入可得a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2=100，灵活地运用公式既可以顺利地解题，又可以培养学生思维的灵活性。

四、题例变形，活用公式

有些问题，看上去不符合公式的结构特征，但通过式子的变形，使题型转化成具有运用公式的结构特征，从而培养学生思维的灵活性。例如，（-a-5b）（5b-a），看上去不好直接运用平方差公式，但变形之后符合公式的结构特征。原式（-a+5b）（-a-5b）=a2-25b2，学生把握住这一点就可以活用公式，灵活解题了。

五、自主探索，创用公式

在教学过程中，激发学生学习的积极性，让学生学会自主探究，合作学习的同时，教师可以适当引导学生自主创新运用公式解决一些问题，培养学生自主创新的思维能力。

例如，从2开始，连续的偶数相加，和的情况如下表：

（1）从2开始，n个连续的偶数相加，它们的和S与个数n之间有什么样的关系？用含n的代数式表示出来。

（2）计算：①2+4+6+…+202；②126+128+…+300。

该题先让学生观察发现自主探索总结公式S=n（n+1），然后灵活运用公式。

六、克服定向，多向思维

高一数学解题公式篇2

在高中数学教学中，很多数学教师习惯于采用“题海战术”帮助学生掌握数学知识，提高学生的数学分析能力和解题能力，但是如果始终采用这种方法，会使很多学生产生单调枯燥的感觉，从而使其对数学学习失去兴趣. “一题多变”可以让学生通过不同的思路找到多种解题的方法，既可以帮助学生实现数学知识的灵活运用，又可以减轻学生解题的负担，使学生乐于学习、善于学习. 笔者在从事高中数学教学的过程中一直注重“一题多变”教学手段的合理运用，在本文中对实施的具体细节进行阐述，以期对高中数学的教学质量和学生的数学能力的全面发展的提供一点积极的效应. 具体如下：

[?] 注重在公式推导中“一题多变”，帮助学生掌握数学基础公式

高中数学中的公式有很多，掌握公式及其应用不但可以简化学生的解题思路与过程，而且对学生理解教学内容有很大帮助. 但是很多高中数学教师和学生只注重公式的应用，而忽视了对公式的推导，认为推导只是帮助学生记忆公式，其重要性不能与应用相提并论；认为在课堂教学中推导公式只是浪费时间，并没有太大的作用，从而使得学生对公式的理解有限，在解题中灵活应用公式更是无从谈起. 所以在高中数学教学中应注重公式推导中的“一题多变”，为学生熟练应用公式解题打下坚实的基础.

例如：高中数学教师在推导三角函数中二倍角公式时，可以从两角和与差公式进行推导，也可以采用向量知识进行推导，尤其是在推导余弦函数二倍角公式时，可以将其与三角函数的基本关系式相互结合起来，从而推导出余弦函数二倍角公式的三种形式. 这样变换不同的思路与推导方式，既可以帮助学生将数学知识串联起来形成有机整体， 又可以让学生清楚了解公式的来龙去脉，在加深对公式推导过程理解的基础上做到灵活应用.

[?] 注重知识讲解时“一题多变”，加深学生对知识的理解与掌握

高中数学教学内容中涉及很多的概念、定理与公理，而掌握和理解这些教学内容对学好高中数学至关重要. 如果高中数学教师在课堂教学中只是简单地照本宣科，那么学生对抽象、深奥的数学知识的理解则会较为片面，无法在应用时做到游刃有余，所以高中数学教师在知识讲解时可以采用“一题多变”的方式，从而达到教学相长的目的. 高中数学教师在讲解抛物线中焦点弦的问题时，就可以通过“一题多变”的方式让学生理解与掌握此知识点.

例1 已知过抛物线y2=2px焦点的一条直线与其相交，设两交点A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1・y2=-p2.

变式1：求证：过抛物线焦点弦两端点的切线和抛物线的准线三线共点.

变式2：求证：过抛物线焦点弦两端点的切线相互垂直.

点评：例题的证明并不难，但是其结论对于学生理解和应用焦点弦却非常重要，在学生明白焦点弦的定义及其结论后，数学教师可以采用“一题多变”的方式，加深学生对焦点弦的理解；而学生在例题及变式的证明过程中可以掌握焦点弦的知识，并将其延伸到椭圆与双曲线中，从而有助于构建起完整的圆锥曲线知识体系.

[?] 注重例题讲解中“一题多变”，引导学生学会融会贯通

虽然学生是教学活动的主体，但是教师的指导作用至关重要，尤其是在高中数学例题讲解中，教师通过“一题多变”的讲解方式，既可以让学生摆脱繁重的课业之苦，又可以培养学生的发散思维与应变能力，让学生从例题讲解中掌握解题的技巧与规律，对知识做到融会贯通.高中数学教师在讲解函数最值时，可以通过“一题多变”的例题讲解，以循序渐进的方式逐渐加大例题难度，从而使学生对数学知识的综合应用做到得心应手.

例2 函数y=-x2+4x-2的最大值是_______.

变式1：已知函数y=-x2+4x-2，则其在区间[0，3]上的最大值为_______，最小值为_______.

变式2：已知函数f（x）=-x2+4x-2，其定义域为[t，t+1]，求函数f（x）在定义域内的最值.

变式3：已知x2≤1，且a-2≥0，求函数f（x）=x2+ax+3的最值.

变式4：已知函数f（x）=-x（x-a），求x∈[-1，a]上的最大值.

分析：（1）例题非常简单，没有定义区间的要求，只需要将其化为顶点式，即可以求出其最大值；（2）变式1在例题的基础上，增加了定义区间这一条件，分析定义区间与对称轴的关系既可以求出其最值；（3）变式2将变式1中明确的定义区间以参数代替，这样在例题讲解时，数学教师需要分析对称轴与参数之间的位置关系，并依据位置关系确定其在定义区间的最值，在此过程中引入了分类讨论的思想，帮助学生在分析问题时更为条理化；（4）变式3给出了定义区间，但是对称轴中含有参数，仍然需要讨论定义区间与对称轴之间的关系，与变式2稍有区别的是变式2是围绕定义区间进行分类讨论，而变式3是围绕对称轴进行分类讨论，两者虽然形式上有所区别，但是其思路本质却相同；（5）变式4中对称轴与定义区间均含有参数，所以分类讨论相对更为复杂，但是解题的思路却与变式2和变式3相同.

在例题和变式中，从开始的实数范围内的最值求解，到指定区间最值求解，再到对称轴或者定义区间存在参数的最值求解，最后到对称轴和定义区间都存在参数的最值求解，其难度逐渐加大，但是其最值求解的思路基本相同，教师通过逐层递进的方式进行讲解，既可以帮助学生掌握解题方法和技巧，又可以培养学生的分析思考能力.

[?] 注重习题练习时“一题多变”，提高学生学以致用的能力

虽然“一题多变”可以减少学生的作业量，但是对典型例题的练习仍然必不可少.这样既有利于学生通过练习巩固数学知识和解题技巧，培养学生的创新思维，又不会让学生产生枯燥之感，从而提高学生学以致用的能力，使学生即使在遇到新题时也不会轻言放弃，而敢于大胆进行尝试.高中学生在学习数列时，很多学生虽然记住了很多与数列有关的公式，但是在实际解题的时候仍然不知道应该怎么应用，其原因即为练习较少，片面地认为记住公式就可以顺利解题，结果却不尽如人意. 因此，高中数学教师需要以“一题多变”的方式布置练习题，提高学生学以致用的能力.

例3 在数列{an}中，已知a1=1且an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式.

变式1：在数列{an}中，已知a1=1且an+1=2an+n，求数列{an}的通项公式.

变式2：在数列{an}中，已知a1=1且an+1=2an+2n+1，求数列{an}的通项公式.

高一数学解题公式篇3

1. 准确理解定义、定理、公式。具体地说就是理解概念所指。说明的问题内容。

2. 用归纳的方法掌握定义、定理和公式。 对于定义、定理和公式通过归纳可以系统地掌握，从而提高学生的记忆效率。

3. 通过练、做，解决实际问题方法加强巩固记忆。无论是平时解题还是高考解题都离不开数学中的定义、定理和公式，记住定义、定理和公式是解题的前

提条件，而在解题中怎样应用定义、定理和公式是一个关键的问题，并在应用中怎样掌握好、巩固好， 以为日后的高考作准备。

其次，在掌握定义和公式的基础上，掌握其所适用的题型，以便在实践中和高考试卷上灵活应用。例如三角形面积公式 中 就是 边上的高，它其实就是初中所学的公式 的另一种新的形式.再如学习了祖原理后，让学生把它引申到平面几何的相应命题。再如： （ ）为正数，求证 ，可把基本不等式 变形为 来用.再如求 的值，是将 的公式变形使用.这样，学生应对高考题型，就可以驾轻就熟，有的放矢。

近年来，加强应用意识的培养和考查是时代的需要，是教育教学改革的需要.高考数学试卷继续关注对学生应用能力的考查，与往年的试题相比，还有以下新特点：

（1）精心选材.密切联系社会实际和学生生活实际，许多试题立意深，情景新，思维价值高.

高一数学解题公式篇4

从一次函数角度研究等差数列的通项公式，挖掘公差与一次项系数的关系；从二次函数特征观察等差数列的前n项和公式，根据一个数列的前n项和的表达式，判断该数列是否为等差数列；从指数型函数形式对比等比数列通项公式，研究等比数列的递增和递减规律，并强调公比不能是0。在研究问题时，在考虑一般情况的同时，也不能忽略特殊情况。尤其是常数列和数列通项公式是分段函数这两种形式。另外，根据函数单调性求最值，放缩法证明不等式，这些方法也经常被应用到解决数列问题中。下面我就求数列通项公式及前n项和两个方面谈几种方法。

一、求数列通项公式

求数列通项公式，常见类型有三种：

第一类问题是利用公式求通项。

（一）根据等差数列定义或等差中项公式，判断该数列是等差数列，直接代入等差数列通项公式求通项。

（二）根据等比数列定义或利用等比中项公式，判断该数列是等比数列，直接代入等比数列通项公式求通项。

第二类是根据数列的递推关系式求通项。

二、求数列前n项和

在数列求和中，常用的方法有以下六种：

（一）公式法。如果数列是等差等比，则直接代入公式即可。

以上这些是在解决数列问题时，具体在求一些数列的通项公式及求它们的前n项和中，经常用到的方法。在解决数列问题时，只有掌握这些方法，才能做到融会贯通，游刃有余。

三、总结

近几年，高考数学中的数列问题一直作为一个考试的热点，虽然很多数学老师在数列解题上有一些独到的见解，但大多数局限于具体题目的讲解和分析，系统性不强，分析点也不全面。本文首先介绍了高中数列相关的基础知识，在以高考为背景的前提下，分析了数列在高中数学中的重要性，系统阐述了从小学到高中数学中数列循序渐进的过程。在案例部分，对高中数学中的数列问题进行了全面的概括，将常见的数列问题进行了一一分析。主要涉及：（一）求数列通项公式常见的三种类型：第一类问题是利用公式求通项，第二类是根据数列的递推关系式求通项，第三类是根据混合递推关系式求通项。（二）求数列前n项和，常用的方法有以下六种：一是公式法，二是倒序相加法，三是错位相减法，四是裂项相消法，五是分组转化求和法，六是并项求和法。并针对以上问题进行归类总结，给出针对高考数列解题的策略和建议。将近几年来高等数学的思想、方法和观念在高中数学中逐步渗透，并积极探讨，进一步说明了高中数学中数列学习和应用的必要性。本文对高中数学中的数列问题的分析是笔者在教学期间实践研究的初步成果，希望广大同仁对本文提出宝贵意见，将有助于进一步促进该领域的教学研究，笔者在今后的工作中也会不断实践，继续进行不懈研究。

高一数学解题公式篇5

2014年高考尘埃落定，许多理科考生，数学教师均对新课标高考数学（理科）卷二中的数列解答题议论纷纷，学生都在抱怨，教师高呼超纲超标，笔者仔细观察，发现此题颇值得深入探讨. 笔者就这个问题，从课标、教材以及其他省份的历年高考相关试题进行渊源分析与解法探索，现将我们的思考和读者一起分享.

（2014・新课标高考数学（理科）卷二解答题第17题和教育部考试中心提供的参考答案如下：

[?] 对本题第（Ⅰ）问的思考

首先对照《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）来思考，《标准》中对等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的要求是“掌握”，此题中的第一问的要求是通过构造辅助的等比数列来求通项公式，而且题目中给出辅助数列，要求先证明它是等比数列，再求通项公式，实际上已经降低了构造法的难度. 所以，第（Ⅰ）问不存在“超标” 的说法. 其次，再从教材的角度来看，第（Ⅰ）问的题目原型是普通高中数学课程标准教科书人教A版教材必修5第69页数列复习参考题组第6题：“已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），求这个数列的通项公式”.此题的解答就是通过两边添加项构造辅助的等比数列来解决问题：

由an=2an-1+3an-2，得an+an-1=3an-1+3an-2=3（an-1+an-2），移项得an-3an-1=-（an-1-3an-2），所以{an-3an-1}是等比数列. 由这个辅助数列为突破口就可以解答该题.

本题更远的教材原题背景是来自1995年以前使用的大纲教材――人教版高中数学代数下册的复习参考题：“已知an+1=b，

c・an+d，求数列的前4项及其通项公式.”

对于问题（Ⅰ），其解题起点在于对递推关系式an=3an-1+1的观察，与an=3an-1相比，多了一个常数项1，而an=3an-1是典型的等比数列，可以猜想系数3可能与公比有关，因而确定问题的转化方向――构造以公比为3的等比数列.

数学归纳法的证明过程在此不再赘述.

对于递推数列的通项公式不易求解时，可考虑用赋值法求出数列的前几项，用合情推理猜想出通项公式，再用数学归纳法进行证明，此解法思路成功的关键在于归纳猜想时，要灵活运用“猜结果”与“猜结构”的策略.

以上三种方法比较，显然参考答案提供的构造法思路更简单，解法更简洁.当然后两种方法均有其特点，也指明了在数列的递推公式教学中，教师应关注的几个方向.

[?] 对2014高考新课标卷二17题的第（Ⅱ）问的思考

这是典型的放缩法证明不等式.在此，避开放缩法是否超出课程标准考试大纲不谈，我们只从数学方法的角度来看. 笔者在高考评卷过程中发现考卷中能用参考答案这种方法做出正确解答的并不多见，笔者认真分析了国家考试中心提供的参考答案，感觉该解答与中学生的解题习惯不甚吻合.

放缩法的关键，一是放缩的方向，二是如何把握放缩的“度”的问题. 那从这个参考答案上来看，学生如何确定放缩的方向？如何才能得到3k-1≥2×3k-1？这个思路与学生的认知水平及思维习惯相差甚远. 基于此，笔者提出以下的解法，并将结论做相应的推广.

评注：对于上述解法，应关注其解题思路，剖析解题心理状态.首先观察目标结论：++…+=++…+

上述解题思路当中有两个关键点，第一：向等比数列转化，第二，运用“主体部分拆分法”，拆出主体部分等比数列后，对其剩余部分实施放缩.

受此触动，笔者尝试将上述结论适当推广.

既然可以放大，能否考虑缩小呢？

高一数学解题公式篇6

数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要意义，是高中代数的重要内容之一，在高考中承载着对高中数学抽象概括能力、运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种数学能力的考察。纵观新高考数学试卷的数列试题，深深体会到：试题紧扣新课标要求，在考查学生基础知识和基本技能的同时，注重考察学生的创新能力。本文从以下几方面探讨高考数列备考复习策略。

一、仔细研究新课标与考试大纲的联系与区别

1. 新课标的要求：（1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。（2）等差数列、等比数列：①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系和等比关系，并能用有关知识解决相应问题。④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

2. 考试大纲的要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。

3. 联系与区别：从上述要求可以看出，新课标与考试大纲相比，对数列内容的要求变化不大，即主干知识基本不变，最大的变化是新课标突出了数列与函数的内在联系，考试大纲比较注重数列中各参量之间的关系以及恒等变形。新课标对数列内容的整体定位是：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。在数列的学习中，学生通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。

二、强化主干知识复习

通过新课标与考试大纲对比，我们知道数列这一章的主干知识是：等差数列等比数列数列的通项及前n项和的求法。因此，在备考复习中应抓住主干知识线，实施有效复习，帮助学生构建知识网络。

1. 等差数列：（1）要求学生理解等差概念，掌握等差数列的通项公式，弄清等差数列与一次函数的关系；（2）抓住等差数列的特征，掌握前n项和公式，弄清前n项的和与二次函数的关系；（3）强化“知三求二”的题型训练。

作为高考复习，适当强化题型训练是很有必要的，“知三求二”是等差数列的重要题型。所谓“知三求二”就是等差数列有五个参量：项数、通项、前n项和、首项、公差，只要已知这五个量中的任意三个，就可以利用通项公式和前n项和公式求出其余两个。对于“知三求二”的题型训练要适度，不要人为编造太难、太繁题目给学生做，这样不仅增加学生负担，而且淡化数学本质。

2. 等比数列：（1）要求学生理解等比概念，掌握等比数列的通项公式，弄清等比数列与指数函数的关系；（2）抓住等比数列的特征，掌握等比数列前n项和公式及其推导方法；（3）控制“知三求二”题型的难度。

值得注意的是，对于等比数列，“知三求二”的问题可能出现高次方程，这不在新课标要求范围之内。新课标的要求只限制在直接用一元二次方程求解问题，因此在复习等比数列“知三求二”问题时要注意控制难度，按新课标的要求复习。

三、加强信息研究，准确把握高考动向

首先，数列的概念与运算在高考试题中单独出现的频率并不高，常与其他知识综合进行考查。主要命题点为：数列概念的创新定义性问题、数列的最大（最小）项问题、数列的通项公式或递推公式、数列的前n项和ns与na的关系等，而求数列的通项公式、研究数列的单调性、周期性和数列的递推关系式的应用是命题的热点，一般会在选择题或填空题中出现，且常考常新；数列的前n项和ns与na的关系是高考命题的重点，往往渗透在数列的解答题中。等差、等比数列是数列的两个基本的组成部分，在概念、公式和性质上有许多密切的联系，因为大部分的数列问题最后都需要转化为等差、等比数列来解决，所以说本部分内容在高考中的重要性就不言而喻。

其次，数列的求和在数列问题中占有重要的位置，也是考纲明确要求掌握的内容，每年高考都会考查，在填空题、选择题和解答题中都可能出现。对数列的求和问题，主要是转化为等差数列或等比数列的求和问题，有时也转化为已知求和公式的其他数列；对非等差数列、等比数列的求和，常用的方法有：拆项分组、裂项相消、倒序相加、错位相减等。数列的求和问题虽然每年都会考查到，且常考常新，因此有效化归问题是正确解题的前提，合理构建方法是成功解题的关键。

高一数学解题公式篇7

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学，被人们誉为是“思维训练的体操”、“使人聪明的学问”。高中数学知识（或教材）主要强调对数学本质的理解，不能只限于形式化的表达，重视教材的的基础作用和示范作用；揭示数学数学公式（包括性质、法则等）、数学定理、数学例题以及蕴藏在数学知识中的数学思想和数学方法等方面的内容。通过典型例子的分析和学生自主探索活动，让学生理解数学概念、定理逐步形成的过程，体会蕴含在其中的数学思想方法，追寻数学发展的轨迹。因此，高中学生学习数学可以启发思维，开发智力，进而提高人的素质和能力。那么，在课堂教学过程中如何去做才能使高中学生学好数学呢？

1.教学中，重视教材的的基础作用和示范作用。新课标在高中数学学科的地位作用作了纲领性的规定和要求，考试说明也具体的指出在数学教学中应该达到的基本要求，历年的高考试题的也得到了体现。如近几年的高考中试题比较常规。课标对数列的教学要求为：理解数列的概念和几种简单的表示方法，理解数列是一类特殊的函数；探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式，能在具体情节中发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应问题；体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。2011年陕西高考数学理科如17题解析几何第一问“求轨迹方程”来源于选修2-1第三章圆锥曲线与方程阅读材料2中 “圆与椭圆”；第二问求弦长与选修2-1习题3-4A组第7题相同；第18题叙述并证明余弦定理为必修五第二章解三角形第1节内容；第20题概率题的背景与选修2-3复习题二第2题一致等。

2.教学中对于数学概念的学习。数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式，常用特定的语言和符号来刻画，是判断、推理和论证的基础。据调查表明，很多学生学不好数学的一个重要原因是他们对数学中的概念没有很好地掌握。因此，在学习中要做到：阅读概念，记住名称或符号；背诵定义，掌握特性，注意关键的字、词、句、式；注意易混淆概念的区别与联系；举出正反例，体会概念反映的范围；进行练习，准确地判断。如在高中学习“复数的概念”时，就是从上述几个方面引导大家去学习的。

3.教学中对于数学公式的学习。数学公式是反映数学对象的属性之间的关系的一种形式；是数学概念、性质的符号表示；是数学运算、推理的要素和数学证明的依据，也是我们解题的重要工具。因此，在学习中要做到：正确书写公式，理解字母间的关系和公式推导过程；能用数字去验算公式，体会公式中反映的规律；可变换各种公式，了解其不同的变化形式，并能灵活自如地应用公式；掌握公式成立的条件和适用的范围。如高中学习过的“两角和的余弦公式”、“两点间的距离公式”等，就应该着力从上述几个方面去做.

4.教学中对于数学定理的学习。数学定理是反映数学对象的属性之间的关系的另一种形式，是对某一部分数学知识的规律性反映、概括和总结，也是我们解题的依据和重要工具。因此在学习中要做到：分清定理的条件和结论；理解并掌握定理的证明过程；讨论定理的逆命题是否成立；应用定理证明有关问题；体会定理与有关定理和概念的内在联系。注意，有的定理包含公式，如高中学习的正弦定理、余弦定理等，对它们的学习，则要与数学公式的学习方法结合起来进行。

5.教学中对于数学例题的学习。课本中的例题是知识的载体，是连结数学结论与解答习题之间的桥梁，具有较强的针对性、典型性、示范性和探究性。因此，在学习中要做到：认真读题，弄清条件与结论；将条件中涉及到的数学概念转化成数学符号，思考条件和结论如何建立必然联系？怎样才能实现由已知过渡到未知，并要掌握例题的解题思路和方法，学习例题的书写格式和注意书写规范；从例题的解法中能否归纳出这类问题的一般解题方法或步骤；最后思考例题中还有无其它解法，并比较各种方法的优劣。如老师讲解例题时，对例题的分析、板书、解题格式的要求，解题后的总结与反思等都应是按照以上方面去做。

6.对于数学思想的学习。中学数学的基本思想，是指具有奠基性、总括性、广泛性的数学思想，包括函数与方程思想；分类与讨论思想；化归与转化思想；数形结合思想。这些数学思想是指导我们学习数学的行动指南，它贯串在整个数学学习过程中，表现在老师的讲解、分析中，应用在同学们的解题实践中。如对“化归与转化思想”的学习，在解方程时，我们常常把高次方程转化为低次方程；分式方程转化为整式方程；无理方程转化为有理方程等等。这就体现了“化归与转化”的思想。

7.高中学生学习数学，还要要掌握正确的学习方法，要积极主动地思考问题，重视学习知识的发生、发展和形成过程，熟悉知识的应用；熟练掌握和正确使用数学语言，掌握科学的学习方法，并及时消化当天的课堂知识，要求做到：课前预习，带着问题专心听讲；弄清概念后再做习题；解题方法力求简便；作业做错要自行订正；持之以恒，这样数学学习成绩才能提高。

总之，在高中数学课堂教学中提高教学质量，需要我们师生多思考、多准备。教师要用好教材和构建好知识体系，依据课标要求和考试说明而进行。深入研究和分析知识间的内在关系，对一些蕴含重要数学方法和思想的知识点，做好讲解和阐述，为学生构建好数学知识网络结构。这样站得高才能看得远，抓住了知识的核心，学生也才能在高中数学学习中出彩！

高一数学解题公式篇8

一、高考数学数列中的考点分析

虽然数列在《教学大纲》中只有12课时,但在高考中,数列内容却占有重要的地位。高考对数列的考试要求是:①理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,能根据数列的递推公式写出数列的前几项或证明其他一些性质。②理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。③理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。

由上述考试要求,我们知道,数列内容的考试试题,应以等差数列和等比数列的相关概念、通项公式、前n项和公式为主线,以数列的其他内容如通项与前n项和公式的关系、递推数列等相关内容为辅助。但从高考新大纲的变化来看,加入了利用递推公式进行数列的相关问题的证明,考察由递归数列派生出来的新的等差或等比数列的相关问题。

二、复习建议

1.加大等差、等比数列通项公式、求和公式的训练力度。

在等差、等比数列的训练中,让学生回到首项和公差(或公比)中去,无疑是非常本色的方法。

例1:如在等差数列{an}中,点(a3+a5+a4+a5+a6)在直线y=2x+1 上,则该数列的首项a1=。

(A)1; (B)-1; (C)2; (D)-2.(答:B)

对于这道试题,采用下标规律而不能自拔者受阻了,回到首项和公差中去的学生(不见得是数学成绩好的学生)轻易解出来了。

例2:各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S2 =74,S3 =111,则S5=。(答:185)

对于这道试题,只记住死结论:在等比数列中, Sn,S2n -Sn ,S3n -.S2n 成等比数列的学生不知从何下手,机械地应用公式Sn=的学生在算出q=1(q=-)( 舍去)后,又发现代入上述公式不成立,只有知道讨论使用等比数列的求和公式的学生才能得到正确的答案。

通过以上两个例子,我们认为,对于数列通项公式和求和公式的训练,应尽量让学生能反复使用最原始的公式,并注意使公式成立的环境,让学生训练到求一般等差数列和等比数列的通项公式前项和公式变得轻松自然为止。

2.加强数列问题的运算训练,教会学生必要的运算检验方法。

高考数学中运算问题,历来令我们在高考一线的教师们头痛,而数列的运算,则将学生的运算水平低下暴露得非常具体。

运算训练从哪里入手?这里有几点建议:①进行单一公式运用的反复训练,特别是针对经过前一阶段检测发现学生普遍应用不过关的公式(如等比数列的前n项和公式)进行相应的训练。②对数列问题的通性通法进行反复训练,使方法的牢固掌握和运算能力的提高同步进行。③对同一方法进行变式训练,一直练到学生运算结论准确为止。

3.有计划地对学生进行数列综合问题的综合运算训练,提高学生的综合运算能力。

4.加强数列证明问题(或与之相关的题型)的训练,此类问题也是学生的一个薄弱环节。

例3.在数列{an}中,an+1=3an+2n +4 且a2= 6

(1)求a1; (2)求证数列{an+2n +2}是等比数列,并求an。

怎样证明数列{an}是等比(或等差)数列?证明(或an+1 -an)是一个与n无关的常数即可。这么浅显的道理,怎么会有大量的学生不知从何下手?原因还是我们的训练力度不够。

对于上述问题,可进行如下变式训练:

1.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2n-2,证明数列{an+2n}是等比数列,并求an。

2. 在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2n+1+3,证明数列{}是等差数列,并求出数列{an}的前n项和。

高一数学解题公式篇9

【中图分类号】G633.6

1、设置教学目标

在课堂教学中讲解构造法求数列的通项公式，首先应该制定教学目标，确定教学重点，使学生可以理解并掌握几种常见的数列通项的求法，提高学生的知识与技能，通过渗透归纳、化归数学的思想方法，培养学生积极参与课堂教学的主体意识。并且对于教学中的重点内容，就是将非等差、非等比数列化归成等差及等比数列的教学中，一定要注重教学方法的创新，提升课堂教学质量。

2、创新教学方法

2.1教学优势

在数列教学中，教师可以利用构造法，创设情境、引入新课，以低难度的数列知识讲解，逐渐深入数列解读方法，使学生对不完全归纳法没有认识，不容易提升学生对推导数列通项的严谨性。在高中数学的数列求通项问题中，经常会遇到不是等差数列以及等比数列的求通项习题，针对这样的题型，在传统的教学方法中，通常是采用不完全归纳法进行归纳、猜想，之后在借助有效的数学归纳法予以证明，这样的数列通项解题方法不仅不利于学生理解，还具有一定的难度，因此，在实际的教学中，为避免对此类数列求解中应用数学归纳法，可以采取全新的解题方法，也就是通过构造法求数列通项。

2.2构造法

在数学教学中，就是在解决某些数学问题的过程之中，采取构造法通过对问题的条件与结论进行充分的剖析，有时就会使人能够联想出适当的辅助模型，并以此方法可以有效促成学生对命题的转换，从而可以使学生产生新的解题方法，这种思维方法中具有“构造”.的特点，运用于数列通项求解中，就是根据已知条件给的数列递推公式，使用构造法，转化等差或等比数列，从而求出该数列的通项公式，可以给人耳目一新的感觉，提高学生的解题能力。

3、教学实例介绍

高考题的特征“源于课本，而不同于课本”，学生在解课本习题中，当遇到陌生问题时，一定不要慌张，需要静下心来想一想，通过构造法，深化扩散思维，就会认识到可能这道题会与某个知识点或某一种解法有联系。并且教师在平时的教学中，学生也一定要多动脑子，可以把教师讲解的属性知识理解透彻，这样才可以对数学知识进行拓展和迁移，并且还应该勤总结，将数学知识融合在一起，有助于提升学生的解题水平。

3.1实例一

在利用构造法求解数列通项中，针对与形式数列，也具有一定的解题优化能力，通过构造法实现解题目的。

例：已知 ，且 （p、q是常数）的形式的数列，均可用构造等比数列法即 ，数列 为等比数列，这是大家都非常熟悉的。

例：若数列 满足 ，求 。

解析1：令 ，则

该式与已知式 对比，可求得x的值

即

是以 为首项，以 为公比的等比数列。

对于这种形式的数列，还有另外一种构造法， ， 是等比数列，因此，对于上面的例子，还有另外一种解法。

对既非等差也非等比数列通项求解中，应用化归思想，可以通过构造将其转化成等差或等比数列之后，再对于应用各自的通项公式进行求解。

解析2

两式相减得

令（n=1,2,3,……）

则

所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列。

所以 即

， ， ，当n>1时，

这n-1个式子相加得

于是 （n≥2）

也满足上式，

因此，

这两种方法相比，后一种方法比较麻烦，但这也给了我们一定的启发：相邻三项之间也可构造出等比数列。因此在教学中，可以让学生思考、讨论并相互交流，让学生自主去分析如何将其构造成等差以及等比数列，教师可以根据学生的实际情况，适时的对学生的疑问给出引导，如果学生还找不到方法，教师就可以引导学生去参照例一的方法，对课本习题进行研究探讨，从而找到解题方法。

3.2实例二

针对于数学人教A版必修五的第69页的第6题，其题目是这样的：已知数列 中， （n≥3） 对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？

试想1：对于像前面例子那样的递推公式，可以用构造法求出数列的通项公式，对形如已知 和相邻三项之间的关系的递推公式，是否也能类似地构造数列呢？

试想2：本题是相邻三项之间的关系，我们不妨类似方法2来操作。

解析：令 （s,t是常数）（1）

则

该式与已知式 对比，可得

解之得 或

可以将（1）式变为以及的形式，则会有： 之后，可以令 （n≥2）,(n≥2）

则 是以7为首项，以3为公比的等比数列（n≥2）

是以-13为首项，以-1为公比的等比数列(n≥2）

则 即（2）

即 （3）

（2）×3+（3）得

所以可以得出

教学设计中，应该充分发挥了学生的主动性，从而本题也将迎刃而解。

3.3实例三

在构造法求数列中，还有构造商式与积式，也就是根据构造数列的相邻两项商式，然后连乘求数列通项公式；针对构造对数式或倒数式方法，就是针对有些数列若通过取对数，然后取倒数代数变形的方法，将复杂的问题变为简单问题，使数列问题得以解决。

对于习题：数列 中，若 ，，求数列 的通项公式 。

首先，就是可以告诉学生该方法计算中属于不完全归纳法范畴，由于其缺乏严谨性，故此这样的算法当前教材中已经没有了，但是针对这样的数列通项求解中，我们还可以通过构造法，降低解题难度，先求解 、 、 、 的值，然后再求通项 ，可以推导等差数列的通项公式，从而调起学生的学习兴趣。并且在学等差与等比数列的通项公式求解中， 针对于通项公式的求法，可以将数列 进行适当变形，使其可以变成大家熟悉的等差与等比形式，

如根据 ：1， ， ， ， ……；: 1， ,， ， ……得出 是以1为首项，以1为公差的等差数列。

在计算中，可以根据前5项估计出的 成等差，证明出 是否是等差数列。那么实际在解题中也可以应用化归思想，对数列求解；如怎样才可以证明一个数列是等差数列： 一 =常数

解：即

数列 是以 为首项，以1 为公差的等差数列

高一数学解题公式篇10

那么这种补充是否有必要呢？有人一定会振振有词地说补充后解决一些高考题非常有效，的确，我们一些高考命题专家就是上述无节制补充公式和方法的爱好者，但这绝不是高考命题的主流，即便是无节制补充公式和方法的爱好者为迎合某个补充公式或某种补充技巧方法的“好题”用我们的基本公式与基本方法是不难解决的.下面就以几个例子来加以具体地说明。

已知等差数列{an}中a2+a3+a10+a11=48，求S12

注：这是非常常见的“好题”――尤其为那些补充过等差数列的一条性质的人所推崇，这条补充的性质就是am+an=ap+aq，其中m+n=p+q用这条性质很容易解决这一问题（略去解题过程，因为这是众所周知的），笔者的观点是：确定一个等差数列一般只需要确定首项与公差，因此一般有关等差数列的问题的解决关键是寻找首项与公差，当然这对本题来说不可能，因为只有一个条件，只能列出一个关于首项与公差的方程，此时我们应该如何解决问题，一般地，如何面对未知数的个数大于方程的个数，对此我们有两种选择，第一、消元；第二、直接研究已知与未知的关系――当然是以首项与公差为参变量，解法如下：

法一：由已知有：a1+d+a1+2d+a1+9d+a1+10d=48

4a1+22d=48，

a1=(24－11d)/2

S12=12a1+6×11d=12(24－11d)/2+6×11d=6×24=144

法二、仿上法有：2a1+11d=24

又S12=12a1+6×11d＝6（2a1+11d）＝6×24=144

对于上述的解题方法，如果不加思考，任何人都会说法一与法二比常用方法繁，但常用方法的简单是有代价的，即首先需补充公式，这补充的公式也许对于终身从事数学教学的高中数学教师来说是非常显然的，但对于要学习十几门学科、学习能力各不相同的高中生来说恐怕就是负担了，而法一与法二虽然比流行作法复杂，但它对我们是有补偿的，第一是不需要额外补充公式，第二、这两种方法都有普遍性。

等差数列{an}中，若Sm=30，S2m=100，求S3m

高一数学解题公式篇11

中图分类号：G424 文献标识码：A

一元函数的导数是高等数学的主要内容，学生能否掌握一元函数的求导直接影响到后面知识的学习。由参数方程所确定的函数的导数是教学中的一个重点也是难点，特别是由参数方程所确定的函数的高阶导数，学生学起来普遍感到困难，做题时，往往容易犯错。笔者结合自己多年来的教学经验，谈一谈对这一部分内容的教学改进。

1 由参数方程所确定的函数的导数

如果参数方程

（1）

确定与间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程（1）所确定的函数。

对于由参数方程所确定的函数一阶导数及高阶导数的求法，大多数常用的《高等数学》教材①②中采用如下的处理方式：

设参数方程（1）确定函数 = （），且（），（）在（）上可导，（）≠0，函数 = （）具有单调连续反函数 = （），且此反函数能与 = （）构成复合函数，那么由参数方程（1）所确定的函数可以看成由 = （）， = （）复合而成的函数。利用复合函数的求导法则与反函数的求导法则，就有

2 原有的教学思路

在以前的教学中，通常采用如下的教学思路：首先讲解一阶求导公式（2）的推导过程，然后求高阶导数时一再强调是对求导，所以求高阶导数时，仍需利用复合函数的链式求导法则，先对求导再乘以对的导数，即

= （）= （）・

从而推导出公式二阶求导公示（3）。按照这样的思路讲解后，发现学生对由参数方程所确定的函数的一阶导数掌握得还可以，但求高阶导数时总容易出现下列的错误解法。

例1 设确定是的函数。求，。

有些学生的解答如下：

很显然，上述解答中二阶导数求解是错的，正确的解答应该为

通过作业发现，犯这种错误的学生还比较多。细究其中的原因发现学生对前面刚学习的复合函数的链式求导法则与反函数的求导法则掌握欠佳，这样直接导致对求导公式（2），（3）的推导不理解。但因为一阶导数有简洁的求导公式（2），学生容易记住。尽管有的学生可能一时还不理解公式（2）的由来。但只要记住了公式，就能求出一阶导数。而求二阶导数虽然有公式（3），但比较复杂，不易理解。而且学生只是认为求二阶导数就是对一阶导数再求一次导，却忽略了对谁求导的问题，从而导致了求二阶导数的错误做法。

3 新的教学思路

在发现学生在学习过程中存在的问题并对其原因进行分析后，决定改进以前的教学思路，采取如下的教学过程：

第一步，仔细讲解一阶求导公式（2）的推导过程，并选几个例题让学生熟悉并牢记一阶求导公式（2）；

第二步，引导学生明白既然是的函数，那么它的一阶导数也应该仍是的函数。但从前面的例题的结果中发现中的变量仍为，比如例题1中 = 。事实上，一阶导数仍是由参数方程所确定的函数，所以，应该表示为

（4）

第三步，既然一阶导数是由参数方程（4）所确定的函数，而求二阶导数就是一阶导数再对求导。故只需要再一次使用由参数方程所确定的函数的一阶求导公式（2），便可得到二阶求导公式，

= （）=

即 = （5）

公式（5）就是由参数方程所确定的函数的二阶求导公式，与其一阶求导公式在形式上是一致的。

例2 设确定是的函数。求。

解： = = =

因为仍然是参数方程，故

= = = =

按照这种方式讲解以后，学生就很少犯例题1解答中那样的错误。而且这样讲解的好处是不仅使二阶导数的求导变得简单直观、容易理解， 而且对于更高阶导数也是如此。

与二阶求导公式类似，我们有

=

例3 在例题2中，求。

解： =

=

=

=

高一数学解题公式篇12

在学习高中数学的过程中，有关数列题型的解题技巧也一直备受教师和学生关注，它不仅是高中数学教师们谈论的重点内容，也是学生们学习的重要内容。有的同学对数列的知识还存在一些欠缺，没有完全领会其中的知识点，这对平时的解题会造成一定的困难，所以需要我们平时多多摸索，找出解题技巧，促进我们更好地学习，本文就对关于数列的解题技巧进行一些阐述。

一、对数列基本概念的探讨

在解决高中数学数列试题的过程中，通项公式和求和公式需要被直接运用到一些试题上来进行计算。相对来说，这种类型的数列题目是没有什么详细的解题技巧的，而是需要我们熟练掌握公式，将公式运用到具体的题目中进行解答。比如：己知等差数列{an}，Sn是前n项的和，并且n*属于N，如果a3=5， S10=20，求S6。根据题目中的已知条件，我们可以结合等差数列的求和公式和通项公式，首先把数列题目中的首项和公差计算出来，然后根据已知的条件，把所得的结果直接代入求和公式中，这样便可以得到正确的结果。这种类型的题目主要是考察我们对基本概念的理解，所以，在学习过程中，我们一定要注重数列概念的掌握。

在近些年的高考中，对通项公式的考察也很多，对数列求和也是需要掌握的重点，所以这里着重再说一下通项公式。对数列进行求和的方法有好几种，这里介绍错位相减法、合并求和法、分组求和法、通项求和法。

二、高中数学数列类题型的解题技巧

1.合并求和法

在对数列试题进行考察时，一般情况下有一些数列会比较特殊，如果将其中的个别项单独进行组合，那么我们可以找到它特殊的地方。当我们面对这种类型的题目时，我们的解题技巧是，首先把数列试题中可以进行组合的项列出来，接着计算它们的结果，最后进行整体的求和运算，这样我们就可以计算出正确的结果。比如说这样的题目，a1=2，a2=7，an+2=an+1-an，求S1999。首先我们进行初步计算，会发现这个数列不是等差的数列，也不是等比的数列，但是我们可以得到的是a6m+1=2，am+2=7，一直到a6m+5=-7，a6m+6=-5，因此得出S1999=0，也就是a1999=a1999+0，得出a1999=2 ，所以题目的最后结果就是a1999=2。

2.分组求和法

在我们做数列相关题目的过程中，会发现其中有一些数列在本质上是不属于等差数列的，也不在等比数列的范围，但是将它们拆开，我们可以将它们其中的一部分划分到等差数列和等比数列中，我们在对这类数列进行求和时，可以先使用分组求和法来对其计算，然后把它们拆分成简单的求和数列，进行分别求和，再将其得出的结构合并，这就是我们想要的结果了。比如：己知数列{an} ，n为正整数，通项公式是an=n+3n，要求计算出该数列前n项的和Sn。首先进行初步计算我们可以得到，此数列非等比非等差，再对其进行仔细观察，我们不难发现，n+3n的前半部分是等差数列，后半部分则是等比数列，所以我们可以将等比和等差部分分别进行计算，得到结果之后进行相加就可以得出正确的结果。

3.错位相减法

在对数列进行推导求合时，我们经常用到错位相减法，这种解法经常被运用到数列前n项和的求和中。比如在等比数列或等差数列的前n项和的求和中，采用错位相乘法，首先算出数列的首项、差比或公比，再利用等差公式或者等比公式来算出相应表达式，采用错位相乘法就可得到结果。我们在学习时，要多注意解题思路，做到对题进行总结，举一反三。

4.通项求和法

在使用通项求和法时，关键是能够把一个数值拆分成两个数值，以便把遵循一个规律的数值集合一起进行求解，达到事半功倍的效果。求解1+11+111+1111+…+1…11之和，第n项的数值的位 数是n，因为1…111=1/9（9…999）= 1/9（10k -1）（k等于1… 111的位数），所以数列1+11+111+1111+…+1…11=1/9（101 -1）+ 1/9（102 -1）+ 1/9（103 -1）+ 1 /9（104 -1）+…+ 1/9 （10n -1）。进行分组求和后，1+11+111+1111+…+1…11=1/9（101 +102 +103 +104 +…+10n ）-1/9（1+1+1+1+…+1）（1的个数是n）= 10/81（10n -1）- n/9 =1/81（10n+1 -10-9n），这样就能够很快计算出数列的和。

三、结语

综上所述，我们可以知道，高中的数列题型因为它的特殊性，它是和其他的数学知识分不开的，为了能够更好地学习这部分内容，我们在平时的学习中一定要注意对数学基本概念的掌握，以及相关解题技巧的总结，达到融会贯通的境界，才能更好地提高我们的数学能力。