探索平行线的条件篇1

经历探索同位角相等，两直线平行的过程，掌握两直线平行的条件，并能解决一些问题。会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

过程与方法：

通过“转动木条”的活动锻炼学生观察、想象、思考的能力。在学生亲自动手操作、合作交流中直观认识“同位角相等，两直线

平行”。

情感态度与价值观：

让学生在自主探究活动中积极投入认真思考，并与同伴合作交流，尝试成功的快乐，激发学生的探究意识及学习积极性。

【教学重点】探索同位角相等，两直线平行。

【教学难点】掌握同位角相等，两直线平行，并能灵活对其运用，解决一些实际问题。

【教学方法】合作探究，动手操作。

【教具学具】多媒体课件、三根木条。

【教学过程】

一、情景导入

问题1：在同一平面内两条直线的位置关系有几种？分别是什么？

问题2：什么叫两条直线平行？

问题3：装修工人正在向墙上钉木条。如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？你的理由是什么？

二、探究新知

1.上面的操作过程可以抽象出几何图形。如图：

（1）师明确：两线相交成四角，三线相交成八角。具有∠1、∠2这种位置关系的角叫做同位角。

（2）思考：同位角的位置关系有什么特点？

（3）图中还有哪些是同位角？

2.拿出学习用具，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b、c，转动木条a。

（1）观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？它们何时平行？

（2）改变∠1的大小，按上面方式再试一试，两角满足什么关系时，木条a与木条b平行？小组内进行交流讨论。

（3）学生组内思考交流：通过以上操作，你能得出什么结论？

（4）明晰：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称为“同位角相等，两直线平行”，平行用符号“∥”表示。例如，直线a与直线b平行，记作a∥b。

3.现在你能解释问题3了吗？

4.做一做

（1）如图1：你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画几条？你能画出不同的线吗？通过以上操作你能得到什么

结论？

师生共同明晰：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。

（2）在图2中，分别过点C、D画直线AB的平行线EC、DF，那么CE与DF有怎样的位置关系？猜一猜，再验证一下。通过这次操作你又得到了什么结论？

师明晰：平行于同一条直线的两条直线平行。

（3）转化成几何语言该是什么呢？（生口述，师演示多媒体）

三、巩固练习

1.找出图中点阵中互相平行的线段，并说明理由（点阵中相邻的四个点构成正方形）。

2.如图，在屋架上要加一根横梁DE，已知∠B=32°，要使DE∥BC，则∠ADE必须等于多少度？为什么？

四、课堂小结

1.本节课你有什么收获？

2.通过本节课的学习你还有什么想要进一步探究的吗？

探索平行线的条件篇2

条件开放探索型判断说理题是指结论已经给出，要求探索能够使所给结论成立的条件.有了正确的答案，说理一般都比较容易.

图1

例1 （2011福建漳州）如图1，∠B=∠D，请在不添加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使ABC≌ADE并证明.

分析 因为题目中已经具备条件∠B=∠D，又∠A为公共角，要使得ABC≌ADE，需要添加的肯定是一组相等线段，从而可以得到三种方案，随着添加的相等线段的不同，得到的说理方法也不同.

解 方案1：添加的条件是AB=AD.此时，在ABC和ADE中，∠B=∠D，

AB=AD，

∠A=∠A，所以ABC≌ADE（ASA）.

方案2： 添加的条件是AC=AE.此时在ABC和ADE中，∠B=∠D，

∠A=∠A，

AC=AE，所以ABC≌ADE（AAS）.

方案3：添加的条件是BC=DE.此时，在ABC和ADE中，∠B=∠D，

∠A=∠A，

BC=DE，所以ABC≌ADE（AAS）.

点评 本题考查了同学们对全等三角形判定方法的掌握情况，判定三角形全等有四种方法，即SSS，SAS，ASA，AAS，要根据具体情况灵活选用.想一想：如果把条件中的“∠B=∠D”换为“AB=AD”，其他不变，应该怎么解决呢？请同学们试一试.

二、 结论开放探索型判断说理题

结论开放探索型判断说理题是根据给出的条件来寻求结论，但结论通常在两个以上.解答这类问题思路必须开阔，思维必须敏捷，要善于抓住题目的关键语句，采用各种变通的方法，进行横向联系和纵向比较，探索出问题的多种答案来，再进行判断说理.

例2 （2011湖北黄石）2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦，也在国内掀起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题.小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明听讲座.

（1） 爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；

（2） 若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由.

分析 （1） 根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平；（2） 根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，再讨论x的不同取值引起的概率大小关系的变化，根据概率大的就有利，即可求得答案.

解 （1） P（小明胜）＝35，P（妹妹胜）＝25， P（小明胜）≠P（妹妹胜）， 这个办法不公平； （2） 当x＞3时对小明有利，当x

理由如下： P（小明去）＝3x-35x-3，P（妹妹去）＝2x5x-3， 由3x-35x-3=2x5x-3，有3x-3=2x，解得x＝3. 当x＝3时摸球的结果对双方公平，即游戏公平；当3x-35x-3＞2x5x-3，即x＞3时摸球的结果对小明有利；当3x-35x-3

点评 此题考查了概率公式的应用和游戏公平性的判定.一个游戏规则是否公平，关键是看游戏双方获胜的概率（或得分）是否相等，若相等则公平，否则不公平.另外，如果要设计公平的新规则，一般方案不唯一，只要使两者获胜的概率（得分）相等即可.

三、 存在型开放探索判断说理问题

存在型开放探索判断说理问题通常以“是否存在”的形式设问，答案有两种可能：或存在，需要找出来；或不存在，需要说明为什么不存在.解决这类问题的一般思路是先假设所探索的结论是存在的，并把它当作已知条件，结合题设进行探索、归纳、推理、计算，如果能求出合理的结果，则说明假设成立.如果不能得到合理的结果或得到与题设、实际生活相矛盾的结果，则表明假设不成立，探求的结论不存在，从而作出正确的判断.无论最终结论是否存在，解题时都要求考生对作出的判断进行正确的说理.

图2

例3 （2011甘肃兰州）如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D4，-23.

（1） 求抛物线的表达式.

（2） 如果点P由点A出发，沿AB边以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设S=PQ2（cm2）.① 试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；② 当S取54时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.

（3） 在抛物线的对称轴上求点M，使得M到点D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.

分析 （1） 求出A、B两点的坐标后，将A、B、D三点坐标代入y=ax2+bx+c，求出a，b，c的值；（2） ① 用含t的代数式表示BP、BQ后，再用勾股定理求出S的解析式；② 根据S=54即可解出t的值，进而得出P、B、Q的坐标.然后先假设R点存在，根据P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，分类求出R点的坐标，再验证R点是否在抛物线上；（3） 利用对称将点A转化到与点D在对称轴的同一边，再利用三角形两边的差小于第三边判断出点M与点B、D在同一直线上时，差才最大，再利用一次函数求出点M的坐标.

解 （1） 由题意得A（0，-2），B（2，-2），又抛物线y=ax2+bx+c过点A， c=-2.再把B、D两点的坐标代入，由4a+2b-2=-2,

16a+4b-2=-23，解得a=16,

b=-13.

抛物线的解析式为y=16x2-13x-2.

探索平行线的条件篇3

主要特点：开放型试题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结果的多样性，它是开放题的目标：思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径：知识的综合性，它是开放题的深化.

基本类型：规律探索型、条件开放型、结论开放型、条件与结论都开放型、解题策略的开放、探索存在型等.

重点题型例析

一。规律探索型

规律探索型试题就是在一定的条件状态下，要求我们去探索发现有关数学对象所具有的规律性的题目.

例1 （2014.娄底）如图1是一组有规律的图案，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成，第3个图案由10个组成，第4个图案由13个组成，…，则第n（n，为正整数）个图案由____个组成.

分析：仔细观察图形，结合图案每条“边”上的的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可.

解：观察发现：第一个图形有（3x2-3+1）=4（个），第二个图形有（3x3-3+1）=7（个），第三个图形有（3x4-3+1） =10（个），…，第n个图形有[3（n，+l）-3+1] =3n+1（个）.故答案为3 n，+l.

反思：对于找规律的题目应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，图形的变化过程中往往蕴涵着数字变化，所以本题既可从图形的变化过程中寻找规律，也可从图形数字变化过程中寻找规律.

二、条件探索型

条件开放探索题是指结论给定，条件未知或不全，或满足结论的条件不唯一，需探求与结论相对应的条件.解答这类问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求.

例2 （2014.巴中）如图2，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF

（1）请你添加一个条件，使得BEH≌CFH，你添加的条件是____，并证明.

（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由.

分析（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当

三、结论探索型

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性.要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基础知识的应用能力.解决此类问题的一般思路是：从剖析题意人手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等得到结论.

例3 （2014.淄博）如图3，四边形ABCD中，ACBD交BD于点E，点F，M分别是AB.BC懿中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=A C=BD.连接MF ，NF.

（1）判断BMN的形状，并证明你的结论.

（2）判断MFN与BDC之间的关系，并说明理由.

分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的平分线，根据直角三角形的性质，可得∠EA B+∠EBA =90。，根据三角形外角的性质，可得答案.（2）根据i角形中位线的性质，可得MF与AC的关系：根据等量代换，可得MF与BD的关系；根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系；根据等量代换，可得NM与BC的关系；根据同角的余角相等，可得∠CBD与∠NMF的关系；根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案.

解：（1）BMN是等腰直角三角形，

证明：因AB=AC，点M是BC的中点，故AMBC，AM平分∠BAC.

探索平行线的条件篇4

“中点四边形”是苏科版初中数学九年级上册《中位线》一课第二课时的教学内容，旨在引导学生发现一系列连接各边中点得到的四边形与原四边形两条对角线的数量关系和位置关系，从中体会图形的数量关系和位置关系从一般到特殊的变化规律，全面地认识图形。课后，我给学生出了这样一道习题：

顺次连结四边形四条边的中点，所得的中点四边形是菱形。

此题主要考查三个方面的内容：一是对三角形中位线定理的运用；二是对转化思想、从一般到特殊的思想的运用;三是有条理地思考、判断及用几何语言表达。它的正确答案是“对角线相等的四边形”，但大部分学生写出的答案是“矩形”，也有少部分学生写出的答案是“正方形”。因此，学生的错误在于以部分替代了整体，以特殊情况代替了一般情况，其背后，犯的则是逻辑性错误和策略性错误——以非本质属性替代了本质属性。

如此多的学生出了原本不该出的错，是否与本节课的教学设计有一定的关联呢？

二、原先的3个探索活动

纵观该课，我给学生设计了3个探索活动。

【探索活动1】

自主探索：

连接任意四边形四条边的中点，能得到什么图形？并给予证明。

【探索活动2】

解答下列问题串：

问题1如果把上面的“任意四边形”改为“平行四边形”，它的中点四边形是什么形状呢？

问题2把“任意四边形”改为“矩形”，它的中点四边形仍是平行四边形吗？会不会成为更特殊的图形？再把它改为“菱形”、“正方形”呢？

问题3改成“一般梯形”、“直角梯形”、“等腰梯形”呢？

【探索活动3】

思考讨论下列问题：

（1）中点四边形的形状与原四边形的什么有密切关系？

（2）要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？

（3）要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？

从这3个探索活动可以看出，学生探究是沿着从一般到特殊的顺序开展的，原四边形的形状也是从一般四边形逐步变为特殊四边形的。这是一种重要的研究变化规律的数学学习方法。但是，这样的设计忽视了对学生从对角线关系这一问题本质的角度进行思考的引导，而强化了学生对平行四边形等一系列重点学习过的边角关系逐渐特殊化的四边形的印象。也正因为如此，无形中将“顺次连结矩形四条边的中点，所得的中点四边形是菱形”这一非本质属性得到强化。尽管在后面的活动中，教师也引导学生去思考“要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗”,但是，前面的探究及作图留给学生的印象还是更深刻一些，以致学生在有意无意中忽略了对三角形中位线定理的运用，自然也就影响到对解题策略的选择。

三、对3个探索活动的改进

起初，我试图按照从特殊到一般的思路重新设计探索活动：从正方形开始逐步弱化对角线条件。但是，我发现这和前面的设计一样，都需要教师强调、突出，甚至直接指出对角线条件，否则,学生还是会过度关注边角条件。因此，我决定从一个实际问题入手：

【探索活动1*】

尝试解决下列问题：

(1) 一块白铁皮零料的形状如图1，工人师傅要从中裁出一块平行四边形白铁皮，并使四个顶点分别落在原白铁皮的四条边上，可以如何裁？

【探索活动2*】

原探索活动2。

【探索活动3*】

思考讨论下列问题：

(1) 如图2,探索决定中点四边形EFGH形状的原四边形ABCD的主要因素。是边、角,还是对角线？

(2) 反之，若中点四边形EFGH分别为矩形、菱形和正方形，则原四边形ABCD是否一定分别为菱形、矩形（等腰梯形）、正方形？

探索平行线的条件篇5

（2）现将抛物线C向左平移m（m>0）个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M， 与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D，E.

①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值.

②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

这是2011年江西中考试卷的第24题，是一道检测同学们数学综合能力的探索性问题. 探索性问题的条件或结论不确定，从而解题的思维与方法不易直接判断和掌握，同学们得分率比较低. 但每年中考都有这种探索性的考题，因此，同学们必须突破这个难点. 下面是我对这类问题解法的一些研究，供大家参考，希望对同学们有所帮助.

1. 判断型探索性问题

判断型探索性问题是指结论设有未知的问题，解决这类问题的基本方法是根据条件进行分析、推理、计算，最终得到结果.

（2011江苏南京）如图2，在ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm， 点P为BC的中点， 动点Q从点P出发， 沿射线PC方向以2 cm/s的速度运动，以点P为圆心，PQ长为半径作圆，设点Q运动的时间为t s.

（1）当t=1.2 s时，判断直线AB与P的位置关系，并说明理由.

（2）已知O为ABC的外接圆，当t为何值时，P与O相切？

（1）直线AB与P相切. 过点P作PDAB，垂足为D. 在RtABC中，因为∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，所以AB ==10 cm. 因为点P为BC的中点，所以PB=4 cm. 因为∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，所以PBD∽ABC. 所以=，即=. 所以PD=2.4 cm. 而当t=1.2 s时，PQ=2t=2.4 cm. 所以PD=PQ，即圆心P到AB的距离等于P的半径. 所以直线AB与P相切.

（2）因为∠ACB=90°，所以AB为ABC的外接圆的直径. 所以OB=AB=5 cm. 连结OP，因为点P为BC的中点，所以OP为ABC的中位线. 所以OP=AC=3 cm. 因为点P在O的内部，所以P与O只能内切. 根据两圆内切时半径间的关系可知5-2t=3或2t-5=3，解得t=1或t=4. 所以当t的值为1或4时，P与O相切.

2. 可能型探索性问题

可能型探索性问题是指根据题目所给的条件，探索是否存在可能的结果的问题. 解决这种问题的基本方法是假设可能，然后根据题目所给的条件，分析、推理、计算，得到一个结论. 如果结论符合题目要求，说明可能；如果结论不符合题目要求，或推理过程中出现矛盾，说明不可能. 最后再进行总结.

如图3，四边形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，则在P，Q的运动过程中，四边形PQCD是否可能为平行四边形？ 如果可能，求出P，Q的运动时间；如果不可能，说明理由.

可能. 因为四边形ABCD是直角梯形，所以AD∥BC. 所以当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形. 设点P，Q运动x s时，四边形PQCD是平行四边形，则AP=x cm，CQ=3x cm. 因为AD=24 cm，所以PD=（24-x） cm，即24-x=3x，所以x=6. 所以当P，Q运动6 s时四边形PQCD是平行四边形.

3. 变化型探索性问题

变化型探索性问题是指题目的部分条件或全部条件变了，探究题目结论是否也发生变化. 解决这类问题的基本方法是根据题目变化了的条件，分析题目各种关系是否发生变化，如何变化，依此推理、计算，得到结论.

（2011广东河源）如图4，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（点P不与A，B重合），分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作正三角形APC和正三角形PBD.

（1）当APC与PBD的面积之和取最小值时，AP=__________（直接写结果）.

（2）连结AD，BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由.

（3）如图5，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

（1）AP＝a.

（2）α的大小不会随点P的转移而变化，理由如下：因为APC是等边三角形，所以PA=PC，∠APC=60°. 因为BDP是等边三角形，所以 PB=PD，∠BPD=60°. 所以∠APC=∠BPD. 所以∠APD=∠CPB. 所以APD≌CPB. 所以∠PAD=∠PCB. 因为∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，所以∠AQC=180°－120°=60°.

（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°.

4. 存在型探索性问题

存在型探索性问题是指根据题目所给的条件，探索是否存在符合要求的结论. 这种问题与可能型探索性问题类似. 解决这种问题的基本方法是假设结论存在，根据题目所给的条件，分析、推理、计算，得到一个结论. 如果结论符合题目要求，说明存在符合要求的结论；如果结论不符合题目要求，或推理过程中出现矛盾的情况，说明不存在符合要求的结论.

本文开头的题目就是一个存在型探索性问题，我们可以作以下解答.

探索平行线的条件篇6

中图分类号：G633.6？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）03-0094-02

通过数学学习，学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.开放的数学题其目的就是培养学生分析问题和解决问题的多方面活动能力与数学思维能力，体现“以学生的终身发展为本”的理念.

开放探索性问题是相对传统的有“已知——求证”固定模式的题型，即对有完备的条件和固定结论的封闭性试题而言的，它的条件、结论之一未明显写出.常见的开放、探索问题：探索、补充条件；探索、确定结论；探索存在性；有关方案设计与动手操作的题目（如作图、画图及图形的剪、拼、折叠等）.解开放探索性问题的基本思路：探索条件类的解法类似于分析法，假定结论成立，逐步探索其成立的条件；探索结论类的解法是：根据条件，结合以学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解；探索存在性时，常常遵循从特殊（特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等）到一半的规律，可采用“假设检验法”，即先假设结论成立，看是导致矛盾，还是达到与已知条件的沟通，从而确定探索的元素是否存在.解开放探索性问题基本策略：

1.由因探果，顺推分析.这类开放题是指提供一定的条件，可以是既满足条件，且所得结论的意义相同的问题.也可以是提供一定的条件，满足条件的结论方面往往有多种答案的题型.这需要学生灵活运用所学的知识，善于突破常规，进行直觉、想象、猜想、创造等活动才能解决问题.对这类开放型问题，只需根据给定的条件寻求相应的结论.

例1 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .

分析：由于四面体的各棱长未一一给出，因此首先需探求出符合提设的空间图形，然后才能按照图形求体积.

解：由于四面体不是正四面体，所以其棱长分别为1和2，其次，各棱必须构成三角形，才能构成四面体，所以同一个面中不能出现两条棱为1，一条棱为2的情形，这样，满足本题条件的四面体共有下列三种（即长为1的棱分别是一条、两条、三条）.分别计算三种四面体的体积依次为■，■，■，按要求只填一种即可.

2.执果索因，逆推分析.对条件开放题问题，需要探求其结论成立的条件时，可执果索因，将题设和结论视为已知条件，倒推分析，导出所需的条件.

例2 直三棱柱A1B1C1-ABC中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足什么条件时，有AB1BC1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

分析：把结论AB1BC1看作已知条件.

解：连结BC1，由BC=CC1，可得B1CBC1，因此，要AB1BC1，则只要BC1平面AB1C，即只要ACBC1，有直三棱柱可知，只要ACBC，因A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只有A1C1B1C1即可.

3.假设存在，肯定顺推.就是事先假设问题所研究的对象存在或成立，然后依条件顺推，探求结论.

例3 给定双曲线x2-■=1，过点B（1，1）能否作直线L，使L与所给双曲线交于两点Q1Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

分析：存在性问题，一般先肯定结论存在或成立，若不存在，证明方法通常用反证法，若存在，就找出结论来，或根据有关定理予于说明.

解：设所求的直线m存在，并设斜率为k，则y-1=k（x-1），即y=kx+1-k.代入到2x2-y2-2=0中，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-k2+2k-3=0.2-k2≠0，■=■=1，解得k=2。当k=2时，Δ=4k2（1-k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）=-2

4.否定结论，反证逆推.否定逆推就是将所研究的对象事先予于否定，即假设不存在或不成立，然后利用相关条件逆向分析推理，探求结论.

例4 已知f（x）=x2+bx+c，是否存在实数a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一个不小于■.

分析：当探求结论或条件从正面难以成功时，“否定逆推”是首选的解题策略.即从反面入手，逆向分析推理，从而判定结论或条件.

解：否定逆推，假设f（1），f（2），f（3）都小于■，则：

f（1）=1+b+c

由（1）+（3）得-11

5.数形结合，等价转化.有些数学开放问题的题设所给的数或式有明显的几何意义，可以巧妙地转换思维角度，将有利用问题的解决.

探索平行线的条件篇7

通常情况下，有些题目只有已知，然而无确定结果，有的无明确结论，要靠解题的人运用查看、研究、总结出结果；又或知道了题目的确定结果，可是已知不充分或不知道，要靠探索人觅求充足的已知条件再给出合理解释，这样的题目被称做开放型问题.已知不充分及没有明确结果是这种题目的普遍特点.探索型问题在数学高考试题里比重较大，而且呈现出上升的势头，使此种题目日益受到重视.因为探索中所占题目自身的特点，解答这类题目，涉及的知识面广泛，对考生通过数学思维方式考虑问题、处理问题的能力有较高需求.伴随提高学生能力的思想在我国的大力推进，提高学生数学水平成为教学的重点，从而开放型题目就成为增强考生的开创意识，提升数学思想水平、理解题目及处理题目水平的理想题目.在考试里普遍存在的开放型题目，从出题特征的角度，可分为条件探索型、结果探索型、存在性探索型、完全探索型等，下面对这几种题目分别作分析.

一、条件探索型问题

此种题目的特点就是对某个明确的结果来说，已知不确定需要研究，或者已知的增加或减少需要明确，抑或是需要确定已知是否正确.解答此种题目的方式就是从结果入手探寻已知，先找出使结果正确必须具备的前提，然后经过验证寻求使结果正确的具有充分性的理由.这种探索型的问题，在高中数学学习中最常见，是深入开展探索型问题学习的基础，也是培养高中生探究意识、创新能力的有效途径与载体.

例1：若函数f（x）=αsin（-x）-bcos（x-），（ab≠0）为奇函数，（a，b）可以为（？摇？摇）.这道题目就是典型的条件探索型问题，它的结论明确即函数是奇函数，需要找出使得结论成立的充分条件，我们可以把题设和结论都看作已知条件，用演绎推理的方法找出题目需要的条件.

【解析】由奇函数的定义列出关系式，展开整理可得a=b，（ab≠0），因此有序数对可以是（1，1）（2，2）…只要满足a=b，（ab≠0）的都是正确答案.由于奇函数的特殊性质，这道题又能以赋值之方法处理，即f（0）=0.

本题主要运用奇函数的性质及三角函数和差角的正余弦公式，通过计算和验证，找出问题的答案，这就是条件探索型题目的常用解决方法.

二、结论探索型问题

这类题目的特点是已知确定但是无结果，或者是结果是否正确要求答题人判断.处理此种题目的方式就是通过研究结果，然后对结果进行证明.也就是解决问题时通常以特例情况为切入点，运用查看、研究、整理、辨析等手段先猜想出一个结论，然后进行普遍情况的研究和论证.

例2：已知函数f（x）=x++αlnx（x>0），（1）若f（x）在[1，+∞）上为增函数，确定α的范围；（2）如果函数y=f（x）在区间D上有意义，并且在该区间内任取的两个数x、x以下不等式[f（x）+f（x）]≥f（）都成立，就说函数y=f（x）是区间D上的“凹函数”.当a≤0时，试分析f（x）是不是“凹函数”，就你的分析给出证明.这道题目就是结论探索型问题，它的条件很明确，给出了凹函数的定义，需要解题者探索结论，我们可以通过分析、计算、归纳，判断等手段找出结论并加以证明.

【解析】（1）由题意可得，要使函数在[1，+∞）上单调递增，必须使导函数大于零在指定区间恒成立，通过整理可以找出a要满足的关系.a需大于其最大值，由单调性可知其最大值为零，所以a≥0；（2）证明：由题目中给出的已知条件及均值定理相关知识可以得出满足凹函数定义的关系式，由题可得此函数是凹函数.

这类结论探索型题目，需要解题者能够灵活运用数学知识，从题目的情境中研究探索结论，对于培养高中生思维的灵活性大有裨益.

三、探究是否存在题型

这类题目的特点是以结果存在为前提，判断寻求的结果存在与否.

例3：假设A是x=1上一动点，直线l经过点A且和x轴互相垂直，l与x轴的交点为D，M为直线l上一点，并且|DM|=m|DA|（m>0，且m≠1）.A点在圆上运动时，点M的运动轨迹为C.（1）求C的方程，指出C是哪类圆锥曲线，求焦点；（2）经过坐标原点并且斜率是k的直线和C相交于点P，Q，当中点P位于第一象限，且在y轴的投影是点N，直线QN与C相交于H.能否有m，能对所有的k>0，全有PQPH？如果有，求出m；如果没有，说出原因.这道题目要找m的值是否存在，我们可以先假设有这样的m，然后通过一系列计算推理，得出要找的结论.

【解析】（1）根据题设分析关系，列出方程计算整理得到A点横坐标及纵坐标的表达式，因为A点在单位圆上运动，把它代入单位圆方程可得要求C的方程得到点M所满足关系式，从而根据所学知识对它的轨迹进行具体描述.

（2）解法1：设出直线QN的斜截式方程，把它代入曲线C化简得出一个关于x的一元二次方程，根据题目找出这个方程的解，并根据根与系数的关系整理可得点H横坐标.因为点H在直线QN上，所以列出关系式，得到对应向量坐标，再利用向量垂直数量积是0得到的值，所以存在m，能使在它相应的圆锥曲线上，对所有的k>0，全有PQPH.

解法2：由于P，H这两个点都在曲线C上，因此它们都满足曲线方程.两个式子相减可以得出坐标间的关系式，根据题目已知条件，依据点P在第一象限可以得出，该点H也落于第一象限内，而且P，H这两个点并不重合，于是可得，再根据两直线平行斜率相等，垂直斜率之积等于-1可以通过计算得出m的值，所以存在m，能使在它相应的圆锥曲线x=1上，对所有的k>0，全有PQPH.

这道题目考点是求轨迹、直线和椭圆的相互位置及两条直线互相垂直或两个向量互相垂直的充分必要条件，这种存在性的问题，得出的结果有两个可能性：假如具有存在性，要给出合理解释；假如不具备存在性，找出相矛盾的例子解释即可.

四、全开放探索型问题

条件和结论都不完备或都不确定的是全开放型问题，解决这种问题的方法也是开放型的，解题者对题目开展非常详细具体的分析探索，才可以找出解答题目的方案.

例4：α、β为不重合的两个平面，m、n为平面α和平面β以外的两条不重合的直线，根据以下四个条件：①mn，②αβ，③nβ，④mα，拿其中的3个当成已知条件，剩下的一个当成问题的结果，找出正确的答案写在横线上.这道题提供了四个题设，题目让当中的3个作为已知，剩下的一个作为结果，我们可以采用列举的方法找出所有可能性一一检验.

【解析】根据题目要求能够得出全部四个命题，根据所学立体几何知识可以得出，其中哪些是正确的，哪些是不正确的.只要写出正确答案之一，此题就获得了完美解答.

这道题的已知及结果均不确定，因此该题目是一个已知和结果都不确定的完全探索型问题，它可以构成的命题不止一个，正确答案也不唯一，解题者只需找出一个符合题意的结论就可以.这种题目的处理方法也存在不确定因素.

探索型问题没有完备的条件或确定的结论，它的这一特征决定了在解决这类问题时对数学知知识的掌握，数学思想的运用，以及创造性的数学思维都有较高的要求.在解决这类题目时常用下列方法：直击目标；特殊值判断；猜想证明；数形结合……要正确解决探索性问题，不仅需要在平时的学习中注重基础知识的掌握，还要注重方法的总结及能力的培养.

参考文献：

探索平行线的条件篇8

一、教学背景分析

1．教材结构分析。“两直线的位置关系”安排在《全日制普通高级中学教科书(必修)数学》第二册(上)第七章第3节第一课时。主要内容是两直线平行与垂直条件的推导和公式的应用。从初中平面解析几何中平行和垂直的定性过渡到高中解析几何的定量计算。它是学生在研究了直线倾斜角、斜率、直线方程的基础上学习的又一平面解析几何的基础知识。本节的研究，将直接影响以后的曲线方程、导数、微分等的进一步学习，贯穿于高中教学的始终，具有承上启下的作用。

2．学情分析。两条直线位置关系的探究是学生在已经掌握了三角函数、平面向量的基础上进行的。说明学生已具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力。但由于学生接触平面解析几何的时间还不长学习程度较浅，特别是处理抽象问题的能力还有待提高，在学习过程中可能会出现困难。因此，教师要在今后的教学滚动中逐步深化，使之和学生的知识结构同步发展完善。

3．教学目标。(1)知识和技能目标。①理解两条直线平行与垂直充要条件的推导、公式及应用。②能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。(2)过程与方法目标。①通过探索两条直线平行或垂直的充要条件和推导过程，培养学生“会观察”、“敢归纳”、“善建构”的逻辑思维能力，渗透算法的思想。②通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。(3)情感态度和价值目标。徐利治先生曾指出：“数学教育与数学教学的目标之一，应当让学生获得对数学美的审美能力，从而既有利于激发他们对数学科学的爱好，又有助于增长他们的创造发明能力。”因此，培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣即成为本节的情感目标。

4．教学重点与难点．

根据学生现状、教学目标及教材内容分析，确立本节课的教学重点为两条直线垂直和平行的条件。一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过启发学生用平行线同位角关系的判定、性质定理，以及倾斜角、斜率的对应关系探求两直线平行与垂直的充要条件，引导学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神。

教学难点为两直线平行与垂直问题转化为与两直线斜率的关系问题。突破难点的戈键足在设计j-采Hj了南特殊到一般、从具体到捕象的敦学策略，利片J类比归纳的思想，由浅人深，让学生自主探究，分析发现两百线平、币直的规律

二、教法学法分析

1．教法分析。基于本节通过引导学生了解数形结合数学方法，我采肘合作探究式教学法及类比发现式教学模式，对数学知识结构进行创造性的“教学加lI”，将教材中单一、静态的数学知识转化为学生多样、动态的思号我用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，促进学生和谐、F{主、个性化发展。

2．学法分析。我让学生通过观察直线万程的特点．将初巾学过的两直线平行和垂直的判定定理和性质转化成坐标系中的语言，用斜率重新刻有关条件；并启发学生用平面几何巾平行线与同位角关系的判定定理和性质定理．以及倾斜角与斜率的对应关系．由学生自己得两条直线平行和垂直的充要条件．使学生在思维训练的过程巾，感受数学知识的魅力，成为学习的主人．．

三、教学过程与设计

教学于段：几何J面板、汁算机课件辅助教学。

1．复习旧知，以旧悟新。(1)复习初巾的平面几何知识。(2)自问自答：为什么我们现在义要来学习两条直线的位置关系呢?因为我们现存学习平面解析几何，所以就可以在直角坐标系中把直线的方程建立起来。也就是说存前而引入了斜率、点斜式、斜截式等概念后，我们就能够用代数的方法来讨论一些几何的问题，所以，怎样通过两直线方稗的特点来判断两直线平彳了与垂冉的位置关系呢?这就是我们这节课讨论问题的主要任务日的：我通过对已有知识的同顾和深入分析，以问题制造悬念、带着问题走进课堂，让学生主动去探究问题，体验知识发生发展的过程。

2．提出问题，寻找规律。第…部分为新知的发现奠定基础后，我分别给出两组平行的直线．让学生自己做．然后在自主合作的探究氛同中思考、质疑、倾听、表述。我利用几何板工具引导学生观察同位角、倾斜角、斜率的对应关系，引导叶1溉说明了平行条件的证明，又回避了教材巾单独的、枯燥的证明．然后巧妙地加以引导、点拨．放大到两条直线垂直关系的探究上。目的：由特殊到一般，由具体到抽象，南低级到高级的认知顺序引出平行的充要条件，学生比较容易接受，同时激发学生发现平行充要条件的强烈欲望。

3．深入探究．获得新知。(1)创设问题：平行的时候，学生能够把直线的平行转化为讨论直线方程的斜率来判定．同样的我们能否用斜率来讨论两直线的垂直关系呢?(2)分别给出两组垂直的直线，让学生自己作图、发现规律。在讨论巾提醒学生：若两直线的斜率存在，他们之间有何关系?用量角器或三角形来量一下面出的图形的夹角有什么特点?(3)根据高二年级学生的学习状况和认知规律，我给出几组直线的数据让学生利用其发现的规律来验证，将教学信息及时反馈给教师(4)教师教学讲究深入浅出，对于本课的教学难点，待学生发现了规律后引导其利用向量知识来证明．让学生达到从感性认识上升到理性认识的平衡。

探索平行线的条件篇9

中图分类号： G630文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2011）07-0110-02

探索性思维是指：对未知问题或规律寻求认识和解决的思维活动，是一个多环节，多层次的思维体系。人类社会的发展需大量具有创造能力，勇于探索创新的人才。素质教育发展到今天，数学教学的主要任务已不再是简单的知识传授和方法指导，而是以知识为载体，通过课堂互动来培养学生的各种能力，特别是探索性思维的能力。本文以初中数学课堂教学实践为例，谈培养学生探索性思维能力的体会。

一、利用课本原型知识，从暴露知识的发生，发展形成过程，培养学生探索性思维

教科书是学生学习知识，获取经验的主要渠道，在编排体系上，以教育理论为依据，遵循学生的认识规律。特别是数学定理的教学，教师应抓住原型知识的发生，发展形成过程，创设情境，为学生的思维加梯、搭桥，从而培养学生的探索性思维。

例：在三角形内角和定理证明的教学中。（指导学生完成命题证明的前三步骤：1.根据命题含义画图；2.写出已知项；3.写出求证项）

命题：三角形三个角的和为180°。

已知：如图Ⅰ―1，ABC

求证：∠A+∠B+∠C=180°

学生在初接触定理证明时，极易产生如下疑问。

疑问一：三个并不知大小的角的度数和怎能恰好为180°

疑问二：三角形形状的任意性，并不能体现出三角的特殊位置而决定度数和。

疑问三：三角形三内角和为180°，以前是在实验中，通过撕纸拼图体会结论，无法符号化逻辑推理。

教师如何引导学生思索，寻求解决疑问的方法，这是教学的关键。

引导学生思考：已学过哪些几何知识，能产生180°的角的关系？

分析一：一个平角为180°。

分析二：两直线平行，同旁内角互补。

这样学生的思维自然就将三角形的三个角转化成①一个平角、②平行直线中的同旁内角上来了。当图形结构不符合条件要求时，也就顺理成章的出现添加辅助线，让学生的思维不断深入探索。

如图Ⅰ-2、3中通过辅助线将三个角转移到三角形的某一顶点处；

图Ⅰ-4、5、6中通过平行将三个角转移到三角形的某一边上、三角形内任一点处、三角形外任一点处。方法的多种形式紧紧抓住了“把三个角搬到一起，让三个顶点重合，两边形成一条直线。”暴露的是“平角为180°”的这一原型知识。

而（图Ⅰ-7）中将三角形的三个角经过平行转化成平行直线中的同旁内角。暴露的是“两直线平行，同旁内角互补。”的这一原型知识。通过上述灵活多变的形式分析，引导学生抓住课本“原型知识”不变之根本，充分联系新旧知识间关系，化解难易知识间矛盾，在发生、发展中探索解决问题的方法，培养了学生的能力。

二、引申演变例、习题，在听讲、练习中培养学生的探索性思维

课本例、习题具有一定的典型性、示范性，教学中正确引导学生对典型例、习题展开探索，适当的引申、拓展，一方面可激发学生的学习兴趣，另一方面也可探索出一些新的结论，新的解决问题的思想方法，从而逐步培养学生的探索性思维。

例：已知：如图Ⅱ-1，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径。求证：AB・AC=AE・AD

此题为初中几何考察学生双基，逻辑思维的典型例题，它的引申、演变对学生掌握几何知识的综合应用及思维发展有较好的帮助。

引申分析：

1.连结BE，直径所对圆周角为90°，构造两Rt相似。

2.解证此题的基本思想方法是什么？（构造相似三角形，对应边成比例）

3.指出重要知识点，叙述证明的重要步骤。

学生对此题思想、解法了然于胸后，教师顺势进行演变、变式。

演变变式（1）：如图Ⅱ-2，圆内接ABC中AB=AC，D是BC边上任一点，E是直线AD和外接圆的交点。求证：AB=AE・AD

解析：连结CE，等弧所对的圆周角相等，构造ACD与AEC相似.

演变变式（2）：如图Ⅱ-3，AE是O的直径，BC是过E点O的切线，若AB、AC与O相交于F、M时。求证：AF・AB=AM・AC

解析：连结FM，由弧度得∠BAE+∠AMF=90°，RtABE得∠B+∠BAE=90°，构造AMF与ABC相似.

演变变式（3）：如图Ⅱ-4，若将图Ⅱ-3中的BC向上平移，使BC与O相交于两点，AB、AC与O相交于F、M。

求证：AF・AB=AM・AC

解析：连结FM，图形变化，思维方法不变。

这一组例题由简单到难，条件逐步变化，在多向探索条件的基础上充分体现的思想方法是：构造相似三角形，对应边成比例来证题。此例题的3种变式，体现出该例题的典型性。原题与变式（1）强调的是条件与结论的探索，变式（2）、变式（3）则是在原题基础上进一步挖掘知识的应用。学生在题目条件不断变化中激发了思维的活跃性，创设出了探索平台，提高了学生学习兴趣。探索性思维得到充分训练。

综上所述，探索是一种重要的思维方法，它可以使我们发现真理和论断。作为教育工作者，把培养学生的探索性思维做为长期潜心研究的课题。本文只是从数学课堂教学中紧抓“课本原型知识”；“利用例、习题的典型性，开放性”，浅谈培养学生的探索性思维。

参考文献：

探索平行线的条件篇10

开放性课堂教学，主要体现在学生在教师的指导下，以学生为中心的学习。根据“提出问题――分析问题――解决问题――提出新问题”而得到其结构流程图（见图1）。

1. 创设问题情景 ，激发学生学习数学的兴趣

教师选择与当前学习知识有关的实际问题作为学习的中心内容，让学生面临一个需要立即去解决的问题。如在有理数教学中可从参加足球比赛某队的进球数、失球数等实例引入正负数，从而激发学生主动学习的兴趣，诱导学生积极参与，使学生快速进入学习的最佳状态。这样，学生会在情景交融中愉快地探索问题，深刻地理解和掌握新学的知识，培养创造性思维能力。

2. 尝试探索，培养学生分析问题的能力

教师不是直接告诉学生如何去解决所提出的问题，而是引导学生主动探索，提出带有启发性和挑战性的问题，给学生提供动手、动脑、动口的机会，提供解决问题的有关线索和方法，积极引导学生通过自学、观察、猜想、讨论、交流，解决教师提供的例题。学生在学到知识的同时，学会了怎样观察问题、分析问题、解决问题。

3. 注重实践应用，培养学生思维的发散性和创造性

张玺恩教授曾指出：“数学教育给予学生不仅是知识，更重要在于使学生受到数学思维与教学思想方法的训练，数学地提出问题，把实际问题抽象为数学问题进行分析、探索和解决。” 引导学生自觉地运用所学知识去观察、分析和解决生产生活中的实际问题。例如设计测量学校操场上旗杆的高度 ，估计池塘上鱼的总量等活动性实践课的教学。通过这些实践活动，加强学生实际操作能力和动手能力的培养，增强学生数学应用意识的解决问题的欲望，培养学生思维的发散性和创造性。

二、通过变式教学，提高学生解题能力

为了给学生提供思维的空间，教师可以把学生熟悉的课本中的问题、例题、练习题加以改造，变“封闭题”为“开放题”，进一步提高学生解决问题的能力素质。

1. 改变命题的结构

对教材中例题、习题有意识地将原题目的问题弱化改变，使其答案多样化。隐去题目中的一个或多个条件，让学生寻找其结论成立的条件或最优条件；隐去题目中的结论，使其答案多样化；给出结论，寻找使结论成立的条件。

2. 增强命题的探索性

探索平行线的条件篇11

新课改在河南省已经经历了4年的历程。回顾新课标的实施，我们这些实践者认为新教材更加注重学生的认识规律，以及学生的学习兴趣。教材中知识的引入借助实例背景，不仅有助于学生认识数学的应用价值，使数学知识可视化，更能激发学生的求知欲望，打造出高效课堂。挖掘新教材，打乱了我们原有的传统模式，发现新问题，采用新方法、新策略，不再循规蹈矩，找到更加合理的授课方法。

立足新教材，也不完全局限于新教材。如“三垂线定理”教学时，在学生的导学案中导入以下问题，让学生结合教具的演示进行探索。

【问题1】据直线与平面垂直的定义可知平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直。那么，平面内任意一条直线是否也都和平面的斜线垂直呢？

【问题2】三角板的一直角边在平面内，并确认这条直角边与平面的关系——在平面上，那么这条直角边与斜线的关系是怎样的？

【问题3】在平面内有几条直线和这条斜线垂直？

【问题4】平面内具备什么条件的直线，才能和平面的一条斜线垂直？

上课检查了导学案讨论的结果之后，我们进行演示：将三角板的斜边当作平面的斜线，构成斜线、垂线和射影的立体模型，仍用一根铁丝放在桌面的不同位置当作平面内直线，观察、探索、猜想铁丝与斜线垂直和桌面内某条直线垂直间的因果关系？

新教材中的“思考”与“探索”是与大纲版教材较明显的一个区别，教材中的“思考”、“探索”不仅有助于学生加深对知识的理解，同时有助于培养学生的发现问题、探索问题、分析问题、归纳问题能力，我们在集体备课时利用一定时间对此类问题进行深刻的探讨，“思考”与“探索”畅所欲言，各抒己见，从而在教学中设计的材料背景有利于培养学生的思维能力、交流合作能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

探索平行线的条件篇12

一节公开课的教学内容是沪教版 “13．5（5）平行线的性质”，本课的主要内容是平行线性质和判定的综合应用，让学生进一步体会说理的分析方法和说理过程的表述规范，是今后学习几何证明的基础，在人类的生活和生产实践中也有广泛的应用.

教学片段1：搭建思考的平台

自然贴切的课堂导入是激发学生求知欲，吸引学生注意力的内在动力. 巧妙导入新课，能让学生在愉悦的情境下产生对知识的好奇和渴望，增强学生学习的积极性. 如果能够恰当地利用学生熟悉的背景或图形来完成这一过程，那就更加事半功倍了 .

问题讨论（情景引入）

师：本节课探讨如何运用平行线的判定和性质来解决实际问题. 如图，（1）要说明BD∥AE，请添加一个适当的条件，并说明添加的依据，请思考.

生1：∠AFD ＝ ∠FDE，依据内错角相等，两直线平行.

师：这的确是一对内错角，它们是哪两条直线被哪一条直线所截形成的. （启发学生思考）

生1：直线AE和直线CE被直线DF所截形成的，而直线AE和直线CE是不平行的，更不能说明BD∥AE.

师：你添加的条件合适吗？

生1：我明白了. 应该添加∠BDF ＝ ∠DFE.

出示问题：（2）如果DF∥AC，请在图中找出相等的角或互补的角，说出依据.

师：平行线的判定和性质的区别是什么？

生2：平行线的判定是用来判定两条直线平行，平行线的性质可以得出角的关系.

师：上面两个问题的条件和结论分别是什么？

生3：第一个问题是由角的关系推出平行关系，第二个问题是由平行关系推出角的关系.

教师板书 ：

平行线的判定

角 线

平行线的性质

片段1反思：这一问题将平行线的判定和性质进行全面概括，给学生许多可以思考的问题，抓住了学生的注意力. 一堂课要有一个自然贴切的课堂导入，才能在最短的时间内抓住学生的注意力. 给学生创设一个思考的平台，让学生在寻找角的关系中回忆平行线的判定和性质，利用这一设问激发学生思考问题的兴趣，在错误中认识问题的本质，发散学生思维，引发学生对数学问题的思考. 学习数学离不开学生的学习经验，在这里，将平行线的判定和性质应用探索浓缩在一个图形中，通过设计一系列问题，揭示了课题，同时让学生感悟要判定两直线平行，可以寻找角的关系，如一对同位角相等，一对内错角相等或一对同旁内角互补. 依据平行线的判定方法. 由平行线的性质可以得出角的相等或互补关系. 培养学生“用数学”的意识和能力.

教学片段2：变式中启发思维

（课件出示）例题1：已知：∠1 ＝ ∠2 ， ∠C ＝ 70°，∠ADE ＝ 70°.问 BD平分∠ABC吗？

（1）思考：学生思考后讨论交流想法. （2）教师引导分析： 要说明BD平分∠ABC，就是要说明什么？

生：两个角相等，即∠1 ＝ ∠DBC.

师：题目中有这个条件吗？

生：没有.

师：有与此有关的条件吗？

生：有∠1 ＝ ∠2.

师：结合这个条件，你想到什么？

生：只要说明∠DBC ＝ ∠2.

师：∠C ＝ 70°， ∠ADE ＝ 70°这两个条件的目的是什么？

生：是为了说明∠C ＝ ∠ADE.

师：这两个角有特征吗？

生：是一对内错角

师：由此可以得到什么结论？

……

（3）打出证明过程，突出说理的规范表达.

归纳思考问题的策略：由已知条件，想到什么，依据是什么.

（4）请同学们思考：（如果改变题中的条件和结论，该如何求解）

本题中的四个数学语句重新组合

变式：已知： BD平分∠ABC，∠1 ＝ ∠2，∠C ＝ 70°.求∠ADE 的度数. （本题让学生口述说理）

例题2：探索.

已知： ∠A ＝ ∠D，∠C ＝ ∠F ，

问： CE与BF平行吗？为什么？

（1）思考：学生思考后讨论交流想法. （2）教师引导分析：

师：由∠A ＝ ∠D这个条件，你想到什么？

生：FD∥AC.

师： FD∥AC作为条件得到什么？

生：可以得到许多结论，如∠F ＝ ∠FBA，∠C ＋ ∠FEC ＝ 180°……我不知道需要哪个结论？

师：你问得很好. 大家都在思考同样的问题. 在这里也许你的思维受到一定的限制.

教师追问：你观察到题目中还有一个条件吗？这个条件的合理使用是解决问题的关键.

生：选择的结论应该考虑∠C ＝ ∠F这个条件. （学生受到启发，马上积极举手发言，思维顿时活跃起来，想出了多种思路解决本题. ）

……

变式：已知： ∠1 ＝ ∠2，∠C ＝ ∠F，问：∠A ＝ ∠D吗？为什么？

通过该例题的分析，学生已初步感知解决问题的方法，即要抓住“由已知可知什么”、“待求量和已知量有什么关系”具体分析，所以本环节让学生尝试独立完成说理，鼓励学生进行思考分析. 帮助学生进一步巩固对几何说理的基本方法的领悟和规范表达的体验.

片段2反思：例题关注学生的知识的应用，让学生通过同桌交流、小组交流、全班交流等多形式，多方位地描述，既促使学生的合作探究，培养学生的思维，又提高了学生的语言表达能力，通过教师引领启发分析，深入分析已知条件，形成初步的分析方法，变式练习可以把初步形成的分析推理方法及对规范表述的体会进一步清晰明朗化. 用合理的启发引导，使学生的目光凝聚在一起，使学生的思维动起来.

教学体会

（一）学生的思维发展来自于教师的正确引导

本节课主要采用了传统的启发教学，以优化教师的教学方法和学生的学习方式为目的，将教材内容重组和整合，进行了大胆地探索. 学生由于基础不同，思维也存在差异，会给课堂提问造成困难. 如果老师在课堂中包办代替，学生给出错误的答案，不针对错误原因进行引导，而是直接给出正确答案，学生就会失去了思考的机会，对教材的理解会大打折扣. 如教学片段1，学生回答∠AFD ＝ ∠FDE，应对其错误原因进行分析和探讨，引发学生思考. 另外，如果教师死用教材，就题讲题，学生会失去动脑的机会，但如果对设计的问题进行变化，解读题目的本质，便能使学生积极思考，触类旁通，从而激活思维. 又如教学片段2中的例题2，在说理的基础上进行了变式提问，把问题进行拓展，知识进行整合，在探究的过程中，鼓励学生发表意见，学生出现错误时也并不急于打断学生，而是让学生说说自己的想法，充分暴露其思维的过程，这样，有助于学生从不同程度、不同角度积极思考，激活学生的思维.

（二）让学生在探索纠错中体验成功

整节课中，始终以学生自主探究、合作学习、全班交流的方式来开展知识应用学习. 课堂上，为学生提供了独立思考、分析错误，再思考，相互讨论、动手实践的过程. 授课时，通过创设情境，让学生演示、归纳、思考，经历知识的形成过程，增强他们学好几何的信心，让学生尝试通过自己的努力思考获得成功的喜悦. 例如，为了区别平行线判定和性质，让学生通过填表弄清条件和结论；在学习例题时，又让学生自己尝试解决问题，感受知识应用的乐趣……在整个过程中，学生自始至终处于被肯定、被激励的状态中，时时感受到自己是学习的主人，学生有较大的学习空间.