数学思维的含义篇1

学习数学在于解题,不仅善于解一些标准的题,而且善于解一些要求独立思考,思路合理,见解独到的和有发明创造的题。数学的特征是公式繁多、内容复杂,问题形式变化无穷.如何有效地主组织高中数学解题教学,是历年数学教学研究中最热门的课题。我们不仅要求学生直接参与解题,更要求学生能参与解题的思维活动。总结我在高中数学教学过程中的心得,本文拟就谈谈以下两点。

一、对概念的掌握

“工欲善其事,必先利其器”。要达到培养学生解题思维的目的,首先得让学生明白高中数学所有教学内容最基本的知识―概念。概念是思维的基本形式,具有确定研究对象和任务的作用。《普通高中数学课程标准》指出:教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握,对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终,帮助学生逐步加深理解。

在数学中,一个首要的概念就是函数。函数的学习标志着从常量数学学习开始进入变量数学学习。理解函数要求学生在思维中构建一个过程,来反映函数可能出现的一个情形(解析式、表格或图象表示),对定义域中每一个特定值都得到唯一一个函数值的这种动态变化过程。在教学的时候不要把概念的讲授看作是“名词”的解释而已。中学生的年龄决定了很大部分学生的辩证思维发展还处于很不成熟的时期,思维水平基本上停留在形式逻辑思维的范畴,只能局部地、静止地、分隔地、抽象地认识所学的事物。学生对函数概念的认知发展有三个阶段:作为“算式”的函数;作为“变化过程”的函数;作为“对应关系”的函数。这些都说明了学生对函数概念的学习理解,必然要贯穿于整个中学数学课程的学习活动之中。通过对函数的概念这样一个最基本的内容进行说明讲解,掌握这样一个循序渐进的过程:老师首先解释说明,然后与现实生活当中的某一实际情况结合,比如所买商品与所付金额、邮件重量与邮资等等,让学生把数学与生活联系在一起,我们就能很轻松地把学生引入解决实际问题的境界。其间可以进行讨论调动学生的积极性。然后再转入有些问题不能很直观地解决所遇到的实际问题,从而引入到函数的性质上来。

二、挖掘题目中的隐含条件

数学解题中最首要的问题是读懂题目,挖掘出隐含条件。所谓的隐含条件是指数学题目中那些若明若暗含而不露的已知条件,或者从题设中不断发现并利用条件进行推理和变形而重新发现的条件。

我们常说某个数学题目对多数学生来说是一个难题,难在哪呢?很大程度难在隐含条件的深度与广度。一般来说,隐含条件通常隐蔽在数学定义与性质中,或者隐蔽在函数的定义域与值域之中,或者隐蔽在几何图形的特殊位置上,或者隐蔽在知识的相互联系之中。因此,要培养学生挖掘隐含条件的思维能力。把命题者所要告诉我们的潜在信息挖掘出来,清楚命题者的考察目的。在教学过程中要培养学生做到以下几点:

1.学会类比。解题不要为了解题而解题,要仔细分析已知条件,挖掘隐含条件。从相似比较中挖掘隐含条件的实质是类比,是一种铺垫激活策略。在比较中培养出学生挖掘已知信息的思维能力。

数学思维的含义篇2

在初中数学学习中，如果单纯依靠题目中的条件有时是不能顺利解题的，因此为了能够解决问题，就需要深入挖掘题目中的隐含条件，为解题提供更加便利的途径。但有时这种隐含条件也会给学生带来一定困扰。因此在初中数学教学中，教师应科学地指导学生对何种隐含条件进行挖掘、分析以及科学的应用，使学生能够少走弯路，顺利地解答数学问题。

一、初中数学解题中隐含条件充分挖掘的意义

在初中数学教学中，思维对于促进数学学习有着十分重要的作用，当前数学教学中，初中数学教师对学生数学思维的培养重视起来，思维是学生活动思考的内在呈现，对于学生能否顺利解题有着十分重要的影响。近年来，新课程改革不断推进，新课程标准中也明确提出，要指导学生运用数学的思维对于问题进行思考，强化学生发现问题、分析问题以及解决问题的能力。如果学生的数学思维比较科学严谨，解题的准确率也会提升。因此在初中数学教学中，需要采取有效的方式培养学生形成严谨的思维方式，教师可以科学地利用隐含条件，使学生产生认知冲突，激发学生在面对无路的绝望中依旧有积极探究问题的愿望，引导学生反复思考解题的过程，使学生找到解题的突破口。

通过隐含条件有助于促进学生创新意识能力的提升，创新是国家、社会发展的重要动力，学生是未来社会发展的重要动力，初中教学中培养创新型人才是十分必要和重要的，这就成为初中数学教学的重要目标。当前初中数学教学中注重学生个性化的培养，使不同层次的学生在数学课堂中实现不同的发展和进步，在数学解题过程中，教师应充分利用题目中隐含的条件，指导学生对数学问题进行观察和分析，强化学生的创新意识和能力，并使学生能够科学地利用数学题目中的隐含条件，快速准确地解决数学题目。

在初中数学教学中，经常会出现学生题目解错的现象，很多教师都会感慨，为什么这么简单的题都能做错呢？学生也会感到困惑，这主要是由于学生产生了操作型的思维障碍，也就是对事物不同部分的整体反映以及事物的一般规律性等认识不足，出现这种原因主要是学生对数学题目中的条件认识理解不到位，没有能够准确把握其中隐含的条件，在解题过程中就会出现问题，思维受限。

二、初中数学解题中隐含条件的应用

数学思维的含义篇3

概念口语训练的主要内容有数和形的含义、数的组成的读法和写法。训练重点应放在概念含义的形成过程和应用过程的表述上。教师可以在学生有一定感知基础上，由扶到放，达到理解概念的含义。例如第一册加法意义的教学。教师创设情境，借助生活让学生懂得如何说，如2+1，可以设计成2只兔子在一块圆形的草地上吃萝卜，教师用圆圈将草地圈上，再出现1只兔子跑进来也要吃萝卜，外面再来一个大圈。这时，教师问学生共有多少只兔子要吃萝卜（让学生体会共有多少个就是把它们合并起来）。这样的引导，一年级的学生就能很快复述把2只兔子和1只兔子合并在一起，求一共是多少只，用加法计算。“+”号表示合并的意思。低年级的学生抽象形象比较差，生活情境可以让他们明白加法概念的含义，虽然教师没有明白说这是概念的含义，但学生可以根据情境来复述加法计算的过程，如果学生在复述时表达不清，教师只要适当点拨就行。

数的含义和运算意义的应用过程，要训练学生看到一个数或一个运算式子，能够在头脑里把抽象概括出来的一般概念与理论，与具体事物联系起来，这是认识过程的第二次飞跃。如看到一个小数或算式，就能讲出它的含义。

二、计算训练重在算理

计算口语训练的主要内容有口算的思维过程和笔算的算理算法。每个学生在口算时都有自己的一个策略，但这个策略有一定的算理在里面，离开了算理，学生口算就会出现错误，教师要重视算理的传授，鼓励学生将怎样算的过程讲出来。如7+5=（ ），这是一年级学生最常要算的口算题，它的算理是凑十法，如何让学生快速凑十，教师要引导学生口述计算过程：7和几凑成10（7和3凑成10），把5分成3和2，7加3得10， 10再加2得12，所以7加5等于12。训练时应注意：1.先理后法，即先理解算理，后概括口算方法。2.先详后略，即先讲详尽的思维过程，再简要说明过程。如上面凑十法的口算过程，当学生说得较熟练时，可以让学生简单说：7+3=10，10+2=12。最后直接说出得数。3.先要求口算达到正确，再要求口算达到迅速。

三、应用题训练重在思路

应用题口语训练的内容有“四讲”。

1.讲题意。先是读题训练。“读”是思维的第一步，是获取信息的阶段。要求学生读得正确、清楚，不漏字、不加字、不读破句子。再是讲题意训练，训练学生用自己的话来复述题意。

2.讲分析数量关系的过程。这是口语训练的重点。数量关系是应用题的难点，只有让学生明白已知条件和问题之间的关系，学生解答时才能变得简单，再难的应用题也是由简单的组合而成的。应用题的算理训练的重点放在两个转化上，一个是把应用题中的日常语言转化为数学语言；二是把数学语言转化为数学式子。如分析“王老师买了32支铅笔，要平均奖给8个同学，每个同学可以得到几支”。学生刚接触这类题目时，教师在引导时要启发学生：把32平均分成8份，每份是几，就是每个同学得到的支数。根据“要分的总数作被除数，平均分的份数作除数”，列式成32÷8。复合应用题分析数量关系的重点放在讲思路上。常用的解题思路有综合法、分析法和分析综合法三种。综合法是从条件想起，常用的思路提示语是“知道了……和……可以求出……”；分析法是从问题想起，常用的思路提示语是“要求……，必须知道……和……”；分析综合法常用的思路提示语是“最后问题的数量关系式是什么”、“这个关系式中哪个数量是已知的，哪个是未知的”、“根据已知条件什么和什么，可以求出未知数量什么”。

数学思维的含义篇4

关键词：顾名思义；引入；新知；思维

顾名思义这种教学方法，是我在长期教育工作中总结出来的。教学中常有这样的情况，某一教学环节并不是我们事先设计的，但由于特定场合、偶然事件、心灵碰撞、思维交锋等因素的作用，参与者有了新的发现。你可以说这是潜能的极致，也可以说是教学的灵感，它是课堂教学中焕发出的生命活力，更是教学研究的宝贵财富。

一、顾名思义在新课引入中的运用

在众多引入新课的方法中，“顾名思义引入”以它独有的魅力，能很快地扣住学生的心弦，使其情绪高涨，思维活跃，产生良好的学习动机，从而步入学习的最佳境地。

如在西师大版二年级上册“倍数”的教学中，我首先在黑板上写了一个大大的“倍”字，问：“同学们，你们认识这个字吗？”学生齐念。“那么你们在什么地方见过这个字，能不能说说它的含义呢？”

生1：“我在古诗中背过有倍的句子，每逢佳节倍思亲，它的意思是到过节的时候就会很想很想自己的亲人。”

生2：“我在电视上看到一种奶粉的名字叫南山倍慧，妈妈说它的意思是吃了南山牌奶粉就会更加聪明。”

生3：“我曾保证，如果这次考试没有考好，以后要加倍努力。加倍就是要很努力。”

师：“非常好，同学们从日常的学习和生活中了解了倍的含义，知道倍就是更加、很多个的意思。那么谁来说说今天的新内容倍数会是什么样的呢？”

“肯定是很多个很多个一样的数呗。”生笑答。

这样通过从名称想到所包含的意义，把抽象的数学名词形象化，使学生勾勒出知识的轮廓，从整体上了解所学的内容，启动了学生思维的闸门，使其思维处于亢奋状态。

二、“顾名思义”在新知学习中的运用

在学生学习数学知识过程中，加入“顾名思义”这一催化剂，可以促进学生多角度思维，加快大脑中表象形成的进度，从而抓住事物的本质特征，得出结论。如在长方体和正方体表面积一课中我是这样教学的，先在黑板上写出表面这个词，让其说说它的含义，学生一致认为，表是外面的意思，表面就是一个物体外面的面。我在“表面”的后面加上“积”字后接着问：“那们表面积的含义是什么呢？”

“应该是一个物体外面的面的面积的总和。”生答。

接着，我让学生在自己的身边找一个物体，并把这个物体的表面积摸给别的学生看，以便学生从字面意思的理解引申到实际的操作。

“那么，教室里讲台的表面积又是指哪几个面呢？你们的桌斗呢？火柴盒的外壳、内盒呢？……”我把学生以后解决问题时经常遇到的易辨错表面积的物体一一列举，由学生弄清楚，为下一步表面积的计算做好铺垫。

“今天我们来学习长方体和正方体表面积的计算”，师板书。

“我们都会了”有的孩子小声说。

“谁来说说长方体和正方体的表面积是指什么，又该如何计算呢？”师问。

“我知道，我知道”生纷纷抢答。

很快，长方体和正方体表面积的计算公式就被推导出来，并且在实际的应用中错误也很少出现。由此可见，通过学生一系列的顾名思义，诱发了跳跃思维，加快了知识形成的进程，在深化含义的同时又起到了防患于未然的作用。

三、“顾名思义”在新知巩固中的运用

充分发挥学生的潜在能力是当今素质教育研究的重点。因此，教师要采取多种手段激活学生学习的内驱力，疏通学生潜能涌动的通道，以求迸发出智慧的火花。要想实现这一目标，教师可以充分利用顾名思义，在有利于发挥学生潜能的最佳环节之一――知识巩固阶段，调动学生头脑中已有的数学信息（概念、性质），并对之进行移动和重组，开拓新思路，从而获得突破性的结论。如我在教学西师大版数学二年级上册“除法的初步认识”时，学生认为除法算式中前两个数名称应该和加法、减法、乘法算式中数的名称一样，可以和算式本身的名称联系起来，比如说加法算式中的数字叫加数，减法算式中的数字叫被减数和减数，顾名思义除法算式中的数字也是这样的叫法。但到底第一个数字是叫被除数，还是叫除数学生之间发生了争执。

生1：我认为第一个数字应该叫除数，因为是在除法算式中的数字，所以都应该叫除数。

生2：我认为第一个数字应该叫被除数，和减法算式中的第一个数字叫被减数一样。

“说说为什么？”师问。

生2：“减法中的第一个数被去掉了一部分，所以叫被减数；而除法算式中的第一个数是总数，被平均分了，所以我认为叫被除数比较合适。”

“那为什么加法中的第一个数不叫被加数，乘法中的第一个数不叫被因数呢？”师问。

数学思维的含义篇5

【例1】 解不等式：|x-2|+|x+2|≥5.

分析：该不等式是含两个绝对值符号的不等式，这类不等式可使用零点划分区间法、构造函数法、几何意义法等.那么根据绝对值的定义可知，该不等式的含义是数轴上的点x到两定点（-2，0）和（2，0）的距离之和大于等于5.这也恰好符合椭圆的定义，用椭圆的知识来解释该不等式就是代表椭圆及其椭圆外部的x的取值范围，利用椭圆的有界性便可轻松求解.

解：不等式|x-2|+|x+2|≥5的含义是数轴上的点x到两定点（-2，0）和（2，0）的距离之和大于等于5.

根据椭圆的定义可知c=2，a=52，

a2=254，b=94，

因此椭圆的方程为x2254+y294=1.

根据椭圆的有界性可得x≤-52或x≥52，

不等式的解集为{x|x≤-52或x≥52}.

二、构造双曲线模型，巧解一类含绝对值的不等式

【例2】 解不等式：|x-5|-|x+5|≤8.

分析：根据绝对值的定义可知，该不等式的含义是数轴上的点x到两定点（-5，0）和（5，0）的距离之差小于或等于8.这也恰好符合双曲线的定义，用双曲线的知识来解释该不等式就是代表双曲线右支的x的取值范围，利用双曲线的有界性便可求解.

解：不等式|x-5|-|x+5|≤8的含义是数轴上的点x到两定点（-5，0）和（5，0）的距离之差小于或等于8.

根据双曲线的定义可知c=5，a=4，b=3.

因此双曲线方程为x216-y29=1（x>0）.

由双曲线的有界性可得x≥4，

不等式的解集为{x|x≥4}.

三、构造抛物线模型，巧解一类无理不等式

【例3】 已知a∈R，求证：a4-3a2-6a+13-a4-a2+1≤10.

分析：该不等式含有两个根式，并且根号内表达式的次数高达4次，因此求解起来特别的困难.根据数学化繁为简的整体思想，将其配方降幂，其左端可变形为（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，此不等式的几何意义是抛物线y=x2上点P（a，a2）到点A（3，2）与到点B（0，1）距离之差的最大值是10.

解：根据不等式的结构，可以将其左端变形为

（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，

此不等式的几何意义是抛物线上点P（a，a2）到点A（3，2）与到点B（0，1）距离之差的最大值是10.

A（3，2），B（0，1），

数学思维的含义篇6

关键词 解题反思 优化 思维品质

长期以来,数学解题一直都被认为是学习的巩固和提高的必要手段。在新课之后安排一定量的习题是知识掌握和能力提高的必要手段。但是很多学生往往只注重获取题目的正确答案,解题活动仅仅停留在经验水平上。学生做了大量习题,成绩没有明显提高。这些反映出,他们对待解题这一问题的态度过于单一化,没有能够多角度,多层次对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析与思考,从而深化对问题的理解,揭示问题的本质,探索解决问题的规律,没能有效提高个人的思维品质。《数学课程标准》在“解决问题”这一基本目标中明确指出,要“着重培养学生回顾自己思考过程的习惯,初步学会分析思维过程中的得失,了解反思的含义,经历反思的活动,初步形成反思的意识”。所以,教师要重视学生解题后的反思,领悟这一要求,优化学生的思维品质,促进他们思维的发展。笔者结合长期的初中数学教学经验,谈谈我对解题反思的几点体会,请同行多多指教。

一、对解题疏漏进行反思,使思维的严密性得到优化

解数学题经常出现这一现象,对题目隐含的条件没能很好把握,以至于忽略了一些条件而使得解题结果不完备。虽然题目很容易、好理解,但是学生没能认真审题,没能对问题全面考虑而出现失误。

例1 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图1所示,给出以下结论:①a+b+c0;② a-b+c0;③ b+2a0;④ abc>0.其中正确结论的序号是()

A. ③④ B. ②③C. ①④ D. ①②③

分析 由函数图像知:a0,0

故b>0,b+2a

而x=1时y>0,故a+b+c>0,因此②③正确.选B。

隐含条件的挖掘和利用,是近年中考数学中的“热点”问题。所谓隐含条件,就是在题目中未明确表达出来而客观上已存在的条件。反思解题疏漏,就能充分利用“错误中往往孕育着的比正确更丰富的发现和创造因素”,找出错误的根源,分析出错的原因,从而有效避免思维的片面性,形成严谨全面的思维品质。

二、对解题思路进行反思,使思维的缜密性得到优化

数学是一个连贯性、条理性很强的学科,其中的问题也很具有类别性。而学生解题往往不注重对同一类问题解决思路的反思与归纳,以至于第二次、第三次遇到同类问题还是束手无策。将同类问题的解答思路加以反思归纳,对学习极有帮助,对养成思维的良好习惯也很有意义。

例2 如图2,已知四边形ABCD是平行四边形,∠BCD的平分线CF交边AB于点F,∠ADC的角平分线DG交边AB于点G.

求证:AF=GB;

分析:与平行四边形内角平分线有关的,应该马上想到菱形,而且菱形的四条边相等,所以可以尝试过F、G点做AD的平行线。易证四边形ADNG和四边形FMCB都是菱形,从而证明AF=GB,如图3。

与之类似,有这样一道练习题:在ABCD中,AB=5,AD=7,∠B、∠C的平分线交AD于E、F两点,则EF= 。学生养成解题后反思的习惯,有助于问题和思维的发散,达到能够举一反三、触类旁通的效果,这是思维品质优化的良好体现。

三、对解题的方法进行反思,灵活自己的思维

数学解题是“捕捉信息、提取条件、再组合”的三维一体的过程。解题时要善于寻求尽可能多的解法,将不同解法综合考虑,分析共同点和不同点,有哪些过程可以合并或转换,从不同方面、不同层次,多方面、多角度解决问题,殊途同归。有下面这样一道例题:

例3 如图4,在正三角形ABC的边BC、AC上分别有点E、F,且满足BE=CF=a,EC=FA=b(a>b),当BF平分AE时,则 的值为.

反思这个题目的各种解法,不难得出它们之间的联系,我们要不断发掘学生的思维潜能,让他们在这样的学习方式下不断反思、提高,对解决问题的方法不断改进、优化,让他们在用最优方法解决问题的过程中得到成功的喜悦,提高思维的灵活性。

《数学课程标准》要求着重培养学生回顾自己思考过程的习惯,初步学会分析思维过程中的得失,了解反思的含义,经历反思的活动,初步形成反思的意识。教师要注重引导学生解题反思,优化学生思维的品质。

参考文献:

[1]数学课程标准.北京师范大学出版社.2002.3.

数学思维的含义篇7

隐含条件对于解答数学题目来说具有重要的价值，有的时候，隐含条件往往是解答数学题目的关键之所在，并且制约着数学题目的解答过程。教导学生开发与利用数学解题的隐含条件有利于培养学生的逆向思维和学习能力，其在提高数学教学水平方面具有显著的效果。

一、隐含条件挖掘的重要性分析

隐含条件挖掘是数学解题过程中的重要推理与演算过程，尤其是在应用题中，隐含条件的开发直接关系到最后的结果解答。在一些数学题目中，隐含条件的挖掘能够收到快速解题的效果，甚至不需要利用到题目中的明显条件，而隐含条件却往往是最容易被学生忽略的解题要素。总的来讲，挖掘数学题目中的隐含条件具有以下作用。

（一）快速解题，解锁解题过程，变复杂为简单。

由于隐含条件制约着数学解题过程的发展，并与最终的结果和解题思路密切相关，因此挖掘数学题目中的隐含条件具有快速解题、解锁解题过程及变复杂为简单的作用，能够给予学生激励，激发学生学习数学的自信心，产生学习的自豪感和成功感。

（二）培养学生的观察能力和思维能力。

隐含条件的挖掘需要学生反复不断观察和阅读数学问题的题干，因此隐含条件的挖掘过程具有锻炼学生观察能力的作用，从隐含条件挖掘方面解答数学问题是一种新的解题方式，通过观察力的培养及思路的转换能够培养学生的思维能力。通过思维能力的培养，学生学习其他学科时也可以运用同样的思维方式进行学习，这是一种学习能力的培养。

（三）提升数学教学水平，降低数学学习难度。

隐含条件的挖掘具有快速、高效解题的特点，通过隐含条件的挖掘，数学问题的解答就不会显得那么困难，学生学习数学的积极性得到提高，且能够全心全意地参与数学教学，数学教学水平自然也会有所提高。

二、关于隐含条件的类型分析

存在于数学题目中的隐含条件由于其存在方式和性质的差异，也被分为几种不同的类型，下文笔者将对其不同的类型进行阐述。

（一）制约性。

制约性的隐含条件主要是对解题答案存在制约，对解题过程并没有什么影响。制约性的隐含条件通常存在于数学题目中出现的公式、概念中，这些制约都是由于它们自身存在制约性质，例如在log■x中，答案就受到了01、x>0的限制。

（二）补充性。

补充性条件的挖掘会影响到整个数学解题过程。在一些数学题目给出的条件中存在特殊性，对题目具有隐藏的补充作用。当解题者感觉题目所给出的条件存在不足或遗漏的时候就要考虑题目中是否存在补充含条件。作为问题解答的关键，补充性条件会在解题开始、解题过程中、结果确立等全部过程实施干扰，始终让人存在一种似有忽略的感觉。

（三）导向性。

导向含条件对解题思路产生影响。导向含条件未被挖掘往往会破坏解题者已经设计好的解题思路，并在进行过程中给予一定的阻碍，他们往往存在于题目当中结构或者将会利用到的概念、公式或定论的纵向、横向因素当中。解题前能够挖掘出这些导向含条件往往就预示着解题思路的确立。

（四）综合性。

数学是一门充满了辩证逻辑的学科，一个问题的解答拥有多种辩证方向和解题思路，数学中的定论、概念、公式等相互之间几乎都存在论证关系，从这个角度看，数学问题的题目与解答条件之间也不会是孤立存在的，它们之间始终都存在着一条关系链，在某一条件介入之后，它们就能够相互转化与辅证，当然这样的关系同样存在于隐含条件中，除了自身拥有功能之外，与某一因素结合还会使它们具备其他特殊的辩证功能，也就是说它拥有了导向、制约、补充等多种功能，这便是综合含条件。

三、数学解题中隐含条件的存在方式分析

了解与挖掘数学题目隐含条件的首要条件是必须明确各类型隐含条件的存在方式，养成随时观察与挖掘隐含条件的思维习惯。

（一）存在与概念或公式中的隐含条件。

数学中的概念与公式大都是叠加、推理而来的，由于具有广泛辩证性质，因此也受到了一定的制约，而概念与公式的叠加、辩证及制约条件正是题目当中隐含条件的栖身之所。解题时必须注意解题定律或公式中的限制范围，找出公式、定律中有价值的条件。

（二）存在于题设中的隐含条件。

隐含条件的挖掘需要解题者具备良好的文字功底和语言分析能力。在相当一部分的数学题设当中都存在着隐含条件，一般涉及一些公式和性质的运用，这类隐含条件的挖掘能够给人以豁然开朗的感觉，找到这类隐含条件之后，问题的解答就会显得容易得多。

（三）存在于结论中。

存在于结论中的隐含条件一般为限制性的隐含条件，具有限制结论范围的作用。很多数学题目的答案都会受到一定的限制，尤其是在函数、几何及概率计算中。存在于结论之中的隐含条件只是影响了最终结果的正确性，一般不会对解题过程和解题思路产生阻碍，但又常常是容易被遗忘的条件。

四、挖掘数学题目隐含条件的途径分析

不同的隐含条件其挖掘途径不尽相同。隐含条件的存在给数学解题带来了较大阻碍，常常让解题者感到头疼，挖掘隐含条件对于解题者来说具备指引与突破作用，而挖掘隐含条件的基本规律就是反复阅读题目，深究题目中的有利价值。下文笔者将对挖掘隐含条件的途径进行具体分析。

（一）从数学定义当中挖掘隐含条件。

数学定义是解决一切数学问题问题都必须使用到的条件，只是运用方式不同，有的是直接运用，有的则是通过推理过程或者利用数学公式、定理等进行间接运用。因此挖掘数学解题中的隐含条件就必须回归数学定义，对数学定义的来源、利用等进行全方位的了解和开发。数学定义是一切数学知识点、推理过程、辩证方法必须遵循的前提条件，它揭示了各个数学因素之间的内在关联，具有引人联想、辩证的作用。

（二）明确结构。

学生在解答数学题目的时候，需要运用自己明锐的观察力、洞察力对题目进行反复解读，开发自己的多向性思维，对有无隐含条件迅速作出判断，找到疑问的本质所在，而明确其中的结构，结合已学数学知识，进行不同方向的辩证，迅速确定正确的推理过程，就是判断和挖掘隐藏条件的重要途径之一，其具有明辨方向的作用。

（三）结合已知条件。

很多数学题目的隐含条件常常存在于已知条件中，并由已知条件结合衍生而成，因此当解题时出现条件不足之感，而又在题设中无法挖掘到隐含条件时就将已知条件结合起来，通过图形或列举分析等办法，找出由已知条件组合而成的隐含条件。

（四）辅以图形。

在数学题目所给出的图形中往往存在着解题关键之所在的隐含条件，在解答数学题目的时候，要学会对给出图形进行分析和挖掘，其中所隐含的条件往往比问题题目中所给出的条件更有价值。

（五）建立隐含条件挖掘思维。

很多学生在解题时无法进行隐含条件的挖掘往往是没有挖掘隐含条件的意识或者忽略了隐含条件的挖掘。在实际教学中，老师应该帮助学生建议挖掘隐含条件的意识，为学生讲解隐含条件挖掘的方向和途径，提高他们挖掘隐含条件的能力。

（六）转换表述。

数学题目中的抽象表述往往是使解题人最困惑的地方。要追溯问题或条件的源头就必须先明确已知条件的本质，通过图文、列表转换等方式将抽象的问题表述变化为数学语言，再结合数学知识点进行深入的挖掘和分析，这样就能够清晰地展示出其中的价值信息，然后对问题进行解答。

转换表述的方式有很多，例如坐标转换、图形转换、公式与等式转化、t代替元素转换，等等。转换表述的关键在于挖掘字眼、分析重点，发挥自己的联想能力和直觉能力，尤其对数学知识点、定义、公示等要非常熟悉和了解，明确自己的思维方向和思维方式，通过阻碍信息的剔除与有利信息的集中找寻其中的规律，问题的解答方式及答案就能很轻松地被推算出来。

结语

隐含条件挖掘对于数学教学来说是解题的一大利器，通过挖掘有价值的隐含信息，很多疑惑都将迎刃而解，且对于学生的数学思维能力和观察能力的提高等具有重要的作用，有利于解决数学教学面临的多种困境。

参考文献：

数学思维的含义篇8

二、揭示数学中的隐含知识，培养学生解决、分析问题的能力

数学课本中知识点的抽象性和隐含性比其它学科更为突出，数学中的知识点要通过思维和逻辑推理才能揭示。教学中，在对学生提出的各种问题给予肯定的同时，启动学生的思维，引导学生思考，增强学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣和分析解决问题能力。通过改变问题的条件，把特殊问题推广到一般，把一般问题特殊化，促进学生在学习中提高分析能力。

例1：判断函数的奇偶性的等式f(－x)=f(x)，f(－x)=－f(x)就隐含着定义域关于原点对称这个前提，而学生往往忽视了这个重要前提而导致失误。

例2：已知函数y1=ax2+bx+c, y2=mx+n 的图像相交于点P1(1,-3)和P2(3,5)两点，又y1=ax2+bx+c的图像的对称轴为x=1。

（1）写出这两个函数式。

（2）当x取什么数值时，函数值y1y2，y1=y2，y1y2 。

（3）求出y1的最值。

（4）求出P1、P2的距离。

（5）作出y1和y2的图象。

通过例题的讲练，不仅能理清二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系，而且复习了函数图像的绘制、二次函数的最值、两点之间距离公式等内容，可算是以一当十。

例3：已知二次函数y=x2+ax+a-2

求证：（1）无论a为何值，二次函数的图像与x轴有两个交点。

保留题中的条件，逐步改变结论。

（2）a为何值时，这两个交点之间的距离最小，并求出这个最小值。

（3）a为何值时，这两个交点分居在原点的同侧，异侧。

（4）a为何值时，至少有一个交点在x轴的负方向上。

经过变换，巩固了二次函数所学的内容，掌握了判别式、韦达定理、不等式之间的内在联系。通过教师的讲解和学生的钻研，把蕴藏在题目中那些隐含的知识点挖掘出来，进而开拓了学生的思路，提高了学生分析问题和解决问题的能力。

三、注重学生思维能力培养，提高学生思维方式

数学是培养学生思维的重要学科，教师若能对数学教学进行巧妙的设计，给学生创设一个良好的思维情境，则对学生的思维开发大有益处。在教学中，要打破“教师讲，学生听”的常规教学，变“传授”为“探究”，充分暴露知识的形成过程，促使学生一开始就进入思维状态，发挥学生的思维能力，以探索者的身份去发现问题、总结规律。在教学中，要引导学生多方位观察，多角度思考，广泛联想，培养学生敏锐的观察力和活跃的灵感，鼓励学生积极求异和富有创造性的想象，摆脱在定势思维下受阻的困境，有意识地锻练学生的创新思维。

数学思维的含义篇9

笔者听过多节五年级“分数的意义”的课，有常态课，也有观摩课，尽管这些课上教师行为、学生课堂表现有较大差别，但是他们的课堂教学结构却大同小异。笔者新近对某小学五年级数学教师的教学计划决策和课堂交互决策作质性研究，以其中的一节“分数的意义”为例，该教师的课堂情况可以大致归纳如下：学生动手操作学具用语言（或具体分数）表示结果。即在课堂上，每个学生都有一副学具，有糖果、棋子、圆形纸片和方形纸片等。学生任意“操作”一个分数，教师再抽查学生用语言表述自己分物的过程和具体分数，比如“我有八个棋子，把它们平均分成4份，其中的1份占这个整体的四之一，用表示。”

类似这样的教学过程可以图示如下：

图1 “分数的意义”现实教学过程图

在课前和课后的及时访谈中我们了解到，教师之所以作出这样的教学决策主要基于对教材的认识和解读。教材（人教版）提供了四条信息（图2）：（1）言语“你能举例说明的含义吗？”（2）圆纸片、方纸片和线段图；（3）香蕉和面包，并附“每根是这把香蕉的”“每份是这盘面包的”的示范语言；（4）分数意义和单位“1”含义的描述语言。教师由信息（1）（3）（4）决策课堂活动的主要形式是学生动手操作并言语表述；由信息（2）和（3）决策学生的操作活动是“分实物”。也就是说，教师从上述信息中作出了两个推理和决策，一是视纸片和面包为起到等同作用的实物；二是视言语表述为分数意义学习的唯一路径。于是，便产生了图1所示的教学过程。

基于这种现实教学中并不鲜见的现象，通过对教材资源进行深度挖掘，并对信息的意义及信息之间的关系进行深度剖析，我们不禁要追问：纸片与面包完全等同吗？分数意义学习只有“分实物言语表述”的单一走向吗？

二、分数意义教学中的纸片：由实物走向模式

对问题“纸片与面包是否完全等同”，在了解关于分数及其意义的一些基本原理后便可明确作答。

（一）表达“部分与整体关系”意义的模式

我们知道，分数的重要意义之一就是表示了“部分与整体的关系”，这个看似简单的命题，我们的孩子实际上很难达成认识和理解。除了分数本身比较抽象外，更主要的原因在于教师没有明确引导学生建立一些能更形象、更全面说明分数意义的模式。

关于“部分与整体关系”意义的模式有四个渠道可以建立：范围、长度、集合和面积。范围模式对儿童来说是最具体也最容易操作的，整体（单位“1”）是一个范围，而部分是大小与形状的叠合。教师们通常采用这个模式进行分数学习的后续讲解，教师们最常用到的范围模式有圆形和矩形，其实三角形也是一个不错的选择：

图3 “部分与整体关系”之范围模式图例

但是，它们各自有些特点需要注意。圆形模式便于儿童发现整体却对部分较难理解，矩形模式易于儿童理解部分却难于理解整体，而三角形模式两方面都比较困难。

集合模式则用一个集合作为整体，如图4所示：

图4 “部分与整体关系”之集合模式图例

集合模式对于儿童理解分数有一定困难，因为他们连分实物都会产生一些困难，何况这种抽象的模式。不过，教师可以通过操作实物渗透集合均分的思想，也可以渗透一个整体中可以包含不同类别的物体的意义，比如教师可以在提供的学具中既包含糖果，也包含棋子。需要注意的是，即使教师不准备这样做，自己也应该很清楚这一点，因为教师对分数意义全面、完整的理解对学生建构分数的意义具有重要作用。

线段图属于长度模式，小学生比较熟悉，也比较容易理解。面积模式包含了范围模式所涉及的情况，这个模式适合于较大儿童（四年级及其以上），图5可以帮助孩子更好地理解这类模式。

图5 “部分与整体关系”之面积模式图例

由上可知，分数表达了“部分与整体的关系”，而范围、长度、集合和面积则把这种关系和意义模式化，使孩子们对分数意义的理解更直观、渐进和全面。进一步地，如果能够意识、找到并恰当运用这些模式，我们的教学也许会更有效。

(二)教材中具有“模式”功能的信息源

那么，教材中是哪些信息在提示我们要构建并运用模式作为学生认识和理解分数意义的桥梁呢?

我们回到图2，结合上述的分析便不难理解，教材中呈现的线段图、圆纸片和方纸片，特别是纸片，除了是实物外，更重要的是兼具了“模式”的功能。线段图属于长度模式，圆纸片和方纸片既属于范围模式也属于面积模式。如此的话，教材中的信息源除了“分实物”“言语表述”和“符号”外，又多了一个元素，即“模式”。

相对于以往对教材中纸片的认识，通过今天的讨论，纸片便“返璞归真”，兼具实物与模式的功能，其中，模式的功能似乎更富含教学的意蕴。通过对“分数的意义”教材的重新解读，纸片实现了由实物走向模式的角色转换，并将因此给“分数的意义”的教学带来新的生机和活力。

三、构建“模式主导，双向多维”的教学结构

(一)模式的核心地位

在教材所呈现的四个元素，即实物、模式、言语和符号中，模式是联结其余三个元素的桥梁。

首先，纸片是面包、香蕉等实物平均分的模式化。模式是实物操作的数学转化，从实物走向模式是学生经历数学思维抽象、归纳并建立逻辑关系结构的过程，是数学化的过程，即模式化的过程就是数学化的过程。弗赖登塔尔说“没有数学化就没有数学”，真正的数学知识应当是关于抽象的数学对象的研究，而并非对于真实事物或现象量性属性的直接研究。所谓数学是模式的科学，由实物操作走向模式走出了数学味。

其次，模式与符号和言语之间分别建立了双向逻辑关系，即模式?圮符号、模式?圮言语、符号?圮言语(经模式表象)。这样的关系可图示如下：

在上述图形中，模式元处于中心地位。模式由实物操作数学化而来，形成“分数意义”抽象的研究对象，并为分数意义的学习提供直观材料和意义建构的载体。例如，平均分香蕉为4份(实物操作)，将该过程模式化为平均分成4份的长方形纸片，该模式与符号、言语“把香蕉平均分成4份，其中的一份是整体的四分之一”形成双向逻辑关系，而符号与言语之间经由长方形纸片模式建立了双向逻辑关系。这里提到的双向逻辑关系在后面的探讨中，将更详细地予以解释。

据此，通过分析教材、提取信息解读信息背后的含义建构信息之间的关系等步骤，纸片的“模式”功能在上述关系图中的核心地位凸显出来，它不仅能使分数意义的教学活动的数学味更加显现，也能使该教学过程显得立体多元。

(二)“模式主导，双向多维”教学结构的操作要义

如果把上面对模式、符号、言语、实物之间的关系的分析和探讨相应地进行教学过程化，那么，“模式主导，双向多维”的教学结构便水到渠成。如图6：

图6“分数意义”之“模式主导，双向多维”教学结构示意图

把这样的双向关系转化为相应的分数意义的学习活动，则至少有六种路径：

(1)由模式写符号；(2)由符号选模式；(3)根据符号进行言语表述(借助模式表象)；(4)由表述写符号(借助模式表象)；(5)根据模式进行言语表达分实物的过程(结合符号)；(6)言语表达分实物过程后再选模式或画模式。

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其中，(1)与(2)，(3)与(4)，(5)与(6)，是三组互逆的学习过程，能够培养学生的逆向思维，进而使传统教育中所忽视的发散思维能力得到很好的培养，从而促进学生创造性思维的养成。而实物操作到模式的数学化过程则是分数意义学习的逻辑起点。

以上解析了分数意义的学习过程，对于教师而言，“模式主导，双向多维”教学结构的操作要义如下。

要义一：(1)创设情境，引导学生经历由实物操作走向模式的数学化过程；(2)给模式写符号，同时给符号选模式；(3)借助模式表象，给符号进行言语表述，同时给表述写符号；(4)给模式，儿童言语表达分实物的过程，同时儿童言语表达分实物的过程后再选模式或画模式。

要义二：(1)分实物后引导学生经历实物操作到模式的数学化过程，然后写出分数符号；同时，先给出符号由学生选模式，然后再表述分实物的过程；(2)给符号后要求学生言语表达(或画)模式，再依此描述分实物的过程；同时，言语表述模式后，描述分实物的过程，再写出符号。

前者将实物操作到模式的数学化过程相对独立化，后者则将该过程糅合于各个双向的逻辑关系之中。

(三)两种教学结构的比较

图1和图6分别基于教学现实和理论分析勾勒出两类小学五年级“分数的意义”的教学结构，即“分数的意义”现实教学过程和“模式主导，双向多维”的教学过程。前者呈现断裂性和单向性的特点，学生学习分数意义的活动断裂进行(分实物言语表述符号或分实物言语表述分物过程)，跨越了“实物到模式”的数学化的过程，并构建了“实物到言语”的单向学习活动，使整个学习活动显得单一和断裂，不利于学生全面、深刻地理解分数的意义，不利于学生体悟和积累数学化的数学经验，其根本是不利于学生数学思维的发展。逆向思维是发散思维的一种重要形式，发散思维又是创造性思维的基础。所以归根结底是不利于学生创造性思维的培养。

后者呈现多维性和双向性的特点，模式元素是整个结构的核心，各个元素之间的关系是双向互动的关系，从多个维度(实物模式?圮符号、实物模式?圮言语或实物模式、模式?圮符号?圮言语等维度)实现学生对分数意义的全面理解，有利于学生积累丰富的数学活动经验，更有利于学生数学思维、创造性思维的良好发展，为学生未来的数学学习生活注入活力。

调研中有教师说，在一次小学数学毕业会考中，有一道题目是要求学生根据给出的分数在给出的方格图中用阴影表示出来(即给出符号选择模式)，绝大多数学生没有做出来。这实际上就是在教学中没有注意到“模式主导，双向多维”的教学模式所致。

四、“模式主导，双向多维”教学结构的教学意义

我们归结分数意义的教学结构，并非仅仅追求外在教学形式的简单改变，意在深入挖掘其内蕴的教学意义，使教学形式的改变由内至外而发生，而非外力强加的、缺乏灵魂的生硬动作。

“模式主导，双向多维”的分数意义的教学，其内涵的意义至少有以下两点。(1)数学化是数学学习的逻辑起点。数学的研究对象是从现实事件中抽象出来的模式，而不是现实事件本身。从现实事件抽象出模式的过程，是数学化的过程。(2)数学学习过程是各路径双向互动、多路径融会贯通的有机整体。数学学习过程是多路径交错的动态过程，各路径相对独立，又整体关联，相互依存。独立的路径双向互动，并非单一走向；关联的路径融会贯通，以一定的模式相互整合，构成数学知识意义生成的有机载体。

数学思维的含义篇10

一、 教材分析

1.地位、作用：本节课的主要内容是分式概念以及掌握分式有意义、分式值为0的条件.它是在学生掌握了整式的四则运算、多项式的因式分解，并以小学所学分数知识为基础，对比引出分式的概念，把学生对“式”的认识由整式扩充到有理式.学好本节课的知识,是为进一步学习分式打下扎实的基础，也是以后学习函数、方程等问题的关键.

2.学情分析：由于学生可能会用学习分数的思维定式去认知、理解分式，但是在分式中，它的分母不再是具体的数，而是抽象的含有字母的整式，会随着字母取值的变化而变化.

3.教学目标：结合我校学生的实际情况，我对本节课的教学目标确定如下：

（1）知识与技能目标：①理解掌握分式的概念;②能求出分式有意义及分式值为0的条件.

（2）过程与方法目标：①通过对分式与分数的类比，让学生亲身经历探究从整式扩充到分式的过程，初步学会运用类比转化的思想方法来研究数学问题;②学生通过类比方法的学习，提高了对事物之间是普遍联系又是变化发展的辩证观点的再认识.

（3）情感态度与价值观目标：①通过联系实际，探究分式的概念，能够体会到数学的应用价值；②在合作学习过程中，增强与他人的合作意识.

4、教学重点与难点：

重点：分式的概念.

难点：理解和掌握分式有意义、无意义、分式值为0的条件.

突出重点、突破难点的关键：由于有部分学生容易忽略分式分母的值不能为0这个条件，所以在教学中，采取类比分数的意义，加强对分式的分母不能为0的教学.

二、教学方法和教材处理

1．教学方法

学生通过熟悉的现实生活情景，发现有些数量关系仅用整式来表示是不够的，引发认知冲突，提出需要学习新知识的强烈愿望.引导学生类比分数探究分式的概念，形成师生互动，体现了数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.

2.学法引导 在本节课的学法引导中，我将采取学生小组合作，讨论交流，观察发现，师生互动的学习方式.学生通过小组合作,使学生能够学会主动探究-主动总结-主动提高，突出学生是学习的主体.

三、教学过程设计

1.创设情境

因为数学源于生活，服务于生活，所以我引入了3个生活实例，其中第一道小题的答案是整式，而第二道小题和第三道小题的答案就已经无法用整式来表达了，分母中出现了字母，与以往所学的整式不一样.因此，我提出问题：这两道小题的答案与我们小学所学分数有什么相同之处，又有什么不同之处呢？从而引起了学生的兴趣，激发了学生的探索情趣，进而引出本节课的课题-------分式的概念.

2.形成概念

17.1.1分式的概念说课稿在我的问题引导下，让学生仔细观察第二道小题和第三道小题答案的表达形式，与小学所学分数的表达形式极其相似，又有所不同，让学生来观察不同之处，组织学生讨论，合作交流，并让学生以小组为单位，将发现的结果展示在同学面前，学生有可能得出的答案是：它们都是分数；分母中都含有字母；只要两式相除，就是分式等等。根据学生探究的结果，我加以总结，进而得出分式的概念。即：形如 （ A、B是整式，且B中含有字母，B≠0 ）的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.为了加深学生个人对概念的理解，我对分式概念进行以下说明： 1.分数线可以理解为除号，并含有括号的作用 .2.分式的分子分母为整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母必须含有字母. 3.分式的分母必须不为零，否则无意义. 同时纠正只要两式相除就是分式，分数就是分式等错误思想.并为了体现学生的自主性，激发学生学习兴趣，让学生举几个分式例子.

3.巩固训练

根据不同学生的学习需要，按照分层递进的教学原则，我首先安排了概念训练例1，其目的就是为了让学生理解概念，巩固概念，突出本节课的重点.由于在训练中出现了整式和分式，所以在此环节给出有理式的概念，即整式和分式统称为有理式.为了再次加深分式概念的理解，我又给出例2，但题目变为“求分式有意义的条件”,其目的仍然是让学生理解分式的概念.为了拓展学生思维能力，同时引出本节课的难点，我给出两道思考题:思考题1是在学生理解分式有意义的前提下，让学生思考分式在什么情况下无意义，体现了数学中的逆向思维能力.思考题2是让学生先思考如何使分式值为0,由于学生刚接触新知识，在思维定式下，可能回答只要分子为0即可.这时，我会引导学生重新理解分式概念，若想分式值为0，首先要求在分母不为0的前提下，分子为0，才有意义，否则无意义.从而引出例3，再次强调在保证分式有意义的情况下，令分子为0，即分母不为0，分子为0.给出正确的板书，从而突破了本节课的难点.为了更好的理解，掌握本节课的重难点，同时配有两个由低到高、层次不同的巩固性练习，希望学生能将知识转化为技能.巩固训练一是分式无意义及分式值为0的综合运用，是提高学生综合能力的训练;巩固训练二是思维拓展题，可以拓展学生的发散思维.根据本节课所学分式值为0的条件，大多数学生能够想到只要分母不为0,分子为零，即（x-2）（2x+5）≠0，x-2=0，就能得出该分式值不能为0.但有的学生可能提出下面的问题：由于分子分母中都含有因式(x-2)，所以可以将分子分母中的(x-2)约去，化简结果中分子得1，所以分式值一定不为0.对于学生的这种想法，我给予充分的肯定，并加以说明，由于在分式有意义的前提下（x-2）（2x+5）≠0，所以(x-2)一定不得0，所以分子分母才能同时约去(x-2)，从而肯定了学生的想法，也同时为下节课分式的基本性质奠定了基础.

4．归纳小结 布置作业

由学生总结、归纳、反思，加深对知识的理解，并且能熟练运用所学知识解决问题.

在这节课的教学实施中，许多结论都尽量引导学生探究得出，突出以学生活动为主体，体现学生在教学中的主体地位.同时也希望学生能够掌握分层递进的学习方法，并在以后的学习中运用这种方法.

本节课我采用的知识结构安排为：首先是创设问题情境，由实例引入，提出问题，利用类比思想形成概念，并加强反馈训练和巩固,最后总结概括归纳小结，整个过程符合初中学生的认知规律.

四、关于教学过程中的几点思考

1．关于教学设计的思考：通过学生所熟悉的生活情境，营造良好的学习氛围，激发学生的求知欲.

数学思维的含义篇11

2.表达的精确性。数学语言不同于其他学科，对它的概念、符号、术语都要精准地表达，准确地理解。阅读教学时，不可以用含糊不清和易产生歧义的词汇教学，防止学生理解出现偏差。当学生通过阅读来理解一段数学材料或一个概念、定理时，首先必须理解数学术语和每个数学符号的精确含义，不能忽视或略去表达中的任何一个数学用语。因此，浏览或快速阅读方式不太适合数学阅读学习。

3.阅读的细致性。数学阅读教学绝不可以理解为简单的背诵，而应该在阅读过程中理解体会数学概念、定理的内涵和外延，通过阅读领悟数学语言的逻辑严谨性及数学“言必有据”的特点，对每个数学语言表达、名词术语、图表等都应细致地阅读分析。对刚出现的数学定义、定理一般不能几遍就阅读完成，要通过反复认真阅读，认真分析直至弄懂含义，领悟它们的精髓。教学中，很多学生能阅读一段数学材料却不能理解其中的推理和数学含义，更难体会到其中的数学思想方法，这就要求认真细致地阅读，在阅读过程中勤思多想。

4.阅读思维的灵活。数学语言转换频繁，阅读中需要一定的灵活性，通过不同的数学文字语言、符号语言、图形语言等，把阅读交流的内容转化为易于接受的语言形式，体会用不同的语言形式表达相同的语言内涵。例如，对角平分线的性质语言表述：角平分线上的点到角两边的距离相等，可转化为自己的符号语言：一个平分，两个垂直，得到相等。这样的阐述便于学生理解并准确把握条件的个数。通过语言叙述和符号语言的把握，更能体会直观的图形语言，培养学生的思维灵活性。

学生的数学语言特点及掌握数学术语的水平，是其智力发展和接受能力的重要指标。数学语言水平发展低的学生，课堂上对数学语言信息的敏感性差，思维转换慢，理解能力差。因此，重视数学阅读，丰富数学语言系统，提高数学语言水平有着重要而现实的教育意义。那么在新课改中，帮助学生提高数学阅读水平就显得尤为重要。

在教学中，我们需要认真体会阅读教学在数学教学中的作用，根据不同的学习内容，灵活选择阅读教学手段，提高学生对学习内容的理解。为此，我尝试做了以下工作：

其一，引导学生阅读数学概念，通过阅读能用自己的语言叙述对概念的理解，根据自己的理解判断概念是否正确，并能举出符合定义的具体例子。例如，学习了分式的概念之后，列举以下分式：

（1）1a+1；

（2）xx+1；

（3）13（x+y）；

（4）-13x2y2；

（5）a5；

（6）5x+ym（x-3）；

（7）xπ-1。结果很多学生认为（3）（4）（5）（7）是分式，（1）不是分式。这就需要通过进一步阅读，提升对概念的理解深度。

其二，引导学生研读定理、公式等，通过阅读准确把握定理、公式的条件和结论以及适用范围，体会定理的形成过程，在参与推导的过程中提高抽象思维能力，加深对定理的理解。例如，求根公式的推导，很多学生通过阅读，记住公式和公式的适用条件，这些是不够的，更重要的是把握推导中蕴含的重要的数学思维方法，这些显然是死记公式、套用公式所不能达到的。

数学思维的含义篇12

笔者曾对五、六年级学生作过一项问卷调查，了解学生对乘除法意义的掌握及相应的解决问题能力的情况。为了便于比较，问卷以题组形式呈现。

题组1：

一种饼干的售价为每千克15元，3千克这样的饼干售价是多少？

一种饼干的售价为每千克15元，0.3千克这样的饼干售价是多少？

题组2：

2升橘汁的售价为8元，每升橘汁的售价是多少？

升橘汁的售价为4元，每升橘汁的售价是多少？

题组3：

某种农药2千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒6公顷麦地需要多少千克农药？

某种农药千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒公顷麦地需要多少千克农药？

应该说，这种以相同的数学结构出现的问题是很有暗示性的，且题目也是一些基础题，然而问卷结果却表现出了明显的差异：40位被测学生中，每项题组中的第一题综合正确率高达98.3%，而第二题的综合正确率仅为67.5%。这说明，学生对第一学段学习的乘除法问题掌握得较好，进入第二学段却暴露出了问题。具体看学生的错误类型，都是不知道该选择乘法还是除法来解决相应的问题，或是选择了除法，但不知哪个数是被除数（如题组2第二题，很多学生用4×或÷4来解决）。笔者以为，此类问题的存在固然可以从数量关系教学这一角度去分析，但这不应被等同于学生的实际思维过程，只有立足于学生已有的知识经验，探求已有经验对学生产生的影响及数域扩展后给学生带来的乘除法学习障碍，才能真正厘清学生的思维走向，进而对症下药。

二、分析与诠释

毫无疑问，在乘除法教学中，意义的教学是首要的。纵观整个小学阶段，乘除法意义实际上呈现了不断发展的特点，这同时又可看成一个更为漫长的发展过程中的一个环节（如负数、无理数等概念引进后的扩展）。从宏观的角度看，二年级的乘除法意义学习阶段性十分明显，教师无疑会限于并强调“同数连加”的意义，这时学生所形成的内在表征就会有较大的局限性。特别是由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是比较简单的情况，也即主要局限于正整数的乘除，从而就很容易形成以下观念：“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小；乘除法中各部分都是整数。”到了第二学段，数概念得到了进一步扩展，此时教师更多关注的是计算本身，对乘除法运算意义一般都只是寥寥数语带过，或简单地以“与整数乘除法意义相同”走过场，而恰恰忽视了乘除法运算意义在新数域的推广过程及所获得的新的含义。以乘法为例，增加了“已知整体求部分”，如“6的是多少”，相应的除法则是“求整体”，如“已知一个数的是4，求这个数”。

显然，从这样的角度去分析，前面所提及的错误的发生也就不足为奇了，因为这在很大程度上反映了这样的现实：题组1中，学生依据直觉意识到第二个问题的答案应小于15，进而，按照他们已建立的观念，乘法总是使数变大，而只有除法才能使数变小，因此，选择了除法；题组2中出现了分数，而学生头脑中的乘除法各部分应是整数，所以一下子就变得茫然，即便正确选择了除法，也不知该将哪个数放在前面；题组3第二题则是与学生之前建立的“同数连加”的乘法意义相冲突，因为这时分数的乘法显然已不能看成“重复的加法”，而是“求一个数的几分之几是多少”，因此就容易出错。

事实上，尽管通过分析找到了学生思维出错的根源，但也应看到这种错的“合理性”，站在学生的角度，他们不过是将仅仅适用于正整数乘除的某些“规律”错误地推广到了正有理数中运用，这当然应当被看成是学生思维发展的一个必然过程。关键是，作为教师应清楚地认识到学生在乘除法意义学习中的局限性和遇到的困难，采取适当的措施引导学生较为自觉地去实现对乘除法意义的必要的推广与更新。

三、小学阶段推广乘除法意义的策略

（一）丰富原型，加深对意义的多角度理解

对于乘除法意义本身而言，其内容是很枯燥的，但它植根于现实的沃土，意蕴丰富。在第二学段的教学中，教师仍应牢牢把握情境这条主线，实现乘除法意义的内涵发展。

在小学阶段，乘除法意义大致有以下几种。

1.等量组的聚集。即通常所说的“连加”。在这一情境下，两个因数的地位并不相同，也就是过去所说的“每份数”“份数”，因此，也就有了两种不同的除法逆运算，即通常所说的“平均分”“包含除”。

2.倍数问题。

3.配对问题。

4.长方形的面积。

这几种原型在第一学段均已出现，但在学生头脑中的印象是浅显、零散的，仅限于正整数，且并未形成对乘法意义的阶段性完整认识。随着学生数概念的发展，相应的乘法意义应与其相互促进。在教学中，教师仍应努力丰富学生头脑中的乘除法意义原型，提高其对意义的表征能力。

如在五年级上册“小数乘法”单元中，笔者设计了这样一道题：请用你喜欢的情境表达“1.3×5”的意义。

经过充分的思考、讨论、交流，学生中产生了很多想法：有的编制了购物、长度、质量、面积等数学问题，有的画实物图或线段图，有的用文字或加法算式直接说明。作品很多，但均从不同角度反映了不同个体对乘法意义在小数领域中的认识表征。此时，笔者不失时机地引导学生对作品进行归类，寻找异同，理解作品背后所表示的意义。学生在整理后发现：1.3×5既可以表示5个1.3相加（等量组的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍数问题），还可以用在面积计算中等。也正是在这样的交流共享中，学生原先停留在正整数领域中的乘法意义有了进一步的发展，在丰富的原型中体会到乘法意义在小数领域的推广与延伸。

（二）制造冲突，促进学生对概念的主动更新

建构主义者认为，对于学生在概念学习中发生的错误不应单纯依靠正面的示范或反复练习去纠正，而应以引发主体内在的“观念冲突”为必要前提，使其经历“自我否定”的过程。高年级学生正处于形象思维向抽象思维发展的过渡阶段，已经具备一定的思考能力，如果教师只是简单地将乘除法意义“教”给学生，缺少学习主体的自我内化过程，那么概念的发展就如浮光掠影。因此，教师应创设能引发学生概念冲突的情境，引燃学生思维的火花，引导学生主动对先前的乘除法意义的认识作出必要的调整，将新的含义引入到已有的知识体系中。

以分数乘法的教学为例，一位教师在教学中展示这样一组情境：

（1）我的绳子长米，小明的绳长是我的3倍，小明的绳子有多长？

（2）我的绳子长3米，小明的绳长是我的，小明的绳子有多长？

引导学生通过画图、讨论得出算式，反馈时，教师适时追问：都是×3，表示的意义相同吗？这就引发了学生的思维冲突：如果说第一题可用“3个”解释，那么后一题显然不能，这题的意义又该怎样表述？这样，在对同一算式不同含义的挖掘中，学生很直接地感受到只用以前的“同数连加”的乘法意义已不足以解释分数乘法中出现的新问题，产生了认知冲突，有了扩展新含义的需要。

在此基础上，教师及时引导学生对第二题的算式意义进行研究，注意其发展变化，并指出在引入分数以后，“倍”的概念发展了，既包含了原来的“整数倍”“小数倍”，也包括了这节课所学的“一个数的几分之几是多少”。这样，学生经历了“冲突―建构―顺应”的学习过程，新概念的融入便不再是教师强加，而是主动的更新与顺应。

（三）提取本质，引导学生转换关注视角

前文的分析中曾提及，学生在数域扩展后，容易将在整数乘除法意义学习中的一些“规律”错误地推广到小数、分数乘除法学习中，繁杂的数据构成了学生在学习小数、分数乘除法中的一大障碍。面对新题目，学生往往更多地关注情境中所包含的数量，而不注意其中的文字内容，以及内容背后的运算意义。对此，教师不妨立足学生的思维方式，化繁为简，抓住本质，以此修正认识误区。

基于这样的思考，笔者在实践中进行了尝试。以分数的除法意义教学为例，教材在编排中已经考虑到了学生的学习困难，采用由整数乘除法改编数据后过渡到分数乘除法的方式，帮助学生理解“分数除法的意义与整数除法的意义相同”，即“分数除法是分数乘法的逆运算”。从表面上看，学生通过已有知识已经促成了对新知的理解，而事实上，学生此时的理解仅仅是在特定题组中，脱离了题组这根“拐杖”，学生又会受到数据的干扰。因此，笔者紧接着出示了一组题，要求学生只列式不计算。

（1）把平均分成2份，每份是多少？

（2）里面有几个？

（3）10是的几倍？

（4）一个数的是8，这个数是多少？